Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Inicialmente daremos uma idéia da prova do Teorema 1.1. Primeiro aproximaremos
u0 e u1 7
2α+ por funções pertencendo a D(S 2 ) e D(S2α+3 ), respectivamente. Então pelas
Proposições 1.1, 1.2 e pelo método das aproximações sucessivas determinaremos a solução ul
do problema
(Pl)
u ′′
l
β
+ M(ulW )Sul + δSu ′ l = 0 em L∞ 1
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+1 ))
ul (0) = u 0 l , u′ l (0) = u1 l .
Com as estimativas obtidas para a solução ul passamos o limite na equação de (Pl). O
limite do termo não linear é obtido por meio da Proposição 1.2, do Teorema de Arzela- Áscoli
para funções reais e resultados de teoria espectral para operadores auto-adjuntos.
tais que
Sendo assim, comecemos a prova. Consideremos η > 0 um número real tal que
S α+ 3
2 u 1
2
+ η + M( 0
u β S α+2 0
) + η u W 2
+ η < N 2
. (1.51)
2
A existência de η é garantida por (1.48) .
Sejam (u0 l ) e (u1 7
l ) duas sequências de vetores de D(S2α+ 2 ) e D(S2α+3 ), respectivamente,
u 0 l → u 0 em D(S α+2 ) e u 1 l → u 1 3
α+
em D(S 2 ). (1.52)
A primeira convergência de (1.52) implica
M( u 0 l
β
W ) → M( u 0 β
W
Dividiremos a prova do Teorema 1.1 em duas etapas.
Primeira Etapa: Existência de Solução de (Pl).
) em [a, b] . (1.53)
Pelas convergências (1.52) e (1.53) resulta que existe l0(η) tal que para l ≥ l0(η),
obtemos:
e
|S α+2 u 0 l |2 < |S α+2 u 0 | 2 + η,
M(u0 l β
W ) < M(u0 β
W ) + η
0
u β σ0
− W
2 < u 0 l
3
α+
S 2 u1
l 2
3
α+ < S 2 u1
2
+ η
β
W < u 0 β
W
19
(1.54)
σ0
+ . (1.55)
2