Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Assim de (1.76) e (1.83) obtemos que ϕl = ul β
W . Finalmente substituindo esta última
igualdade em (1.77) obtemos a convergência (1.73) como pretendíamos.
Passagem ao Limite em (Pl,ν)
Agora com as convergências (1.72) e (1.73) podemos passar o limite em (Pl,ν). O limite
ul é uma solução do Ploblema (Pl). De fato, por (1.47) e (1.58) resulta o seguinte:
|Sul,ν(t)| 2 ≤
1
γ 2(α+1)
0
S α+2 ul,ν(t) 2 ≤
Como 0 < T0 < 1 resulta de (1.84) que
T0
0
|Sul,ν(t)| 2 dt ≤ N 2 T0
m ∗ γ 2(α+1)
0
N 2
m ∗ γ 2(α+1)
0
<
N 2
m ∗ γ 2(α+1)
0
, ∀t ∈ [0, T0] . (1.84)
Logo, desta última desigualdade resulta que (Sul,ν)ν∈N é limitada em L 2 (0, T0; H). Sendo
assim, podemos extrair uma subsequência de (Sul,ν)ν∈N, que ainda denotaremos por
(Sul,ν)ν∈N, tal que
Sul,ν → χ1 fraco em L 2 (0, T0; H). (1.85)
Sendo S um operador fechado resulta de (1.72) 1 e (1.85) que
Assim de (1.73) e (1.86) concluimos que
Sul,ν → Sul fraco em L 2 (0, T0; H). (1.86)
M(ul,ν−1 β
W )Sul,ν → M(ul β
W )Sul fraco em L 2 (0, T0; H). (1.87)
Agora por (1.47) e (1.58) segue-se que
T0
Su ′ l,ν(t) 2 T0 1
dt ≤
o que implica na convergência
0
0
γ 2(α+1)
0
S α+2 u ′ l,ν(t) 2 dt ≤
.
N 2
2δγ 2(α+1)
0
Su ′ l,ν → χ2 fraco em L 2 (0, T0; H). (1.88)
Sendo S um operador fechado resulta de (1.72) 3 e (1.88) que
δSu ′ l,ν → δSu ′ l fraco em L 2 (0, T0; H). (1.89)
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