Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

(Pj)
u ′′
j + M(uj β
W )Suj + δSu ′ j = 0 em L∞ 1
α+ (0, ∞; D(S 2 ))
uj (0) = u 0 j, u ′ j (0) = u 1 j.
Pelo Teorema 1.1 concluimos que (Pj) possui uma solução local uj na classe
uj ∈ L
∞ (0, T0; D(Sα+2 ))
u ′ j ∈ L∞ 3
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+2 ))
u ′′
j ∈ L∞ 1
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+1 )).
(1.140)
Com (1.140) conclui-se que M(uj β
W ) satisfaz a (H5). Sendo assim, resulta da
Proposição 1.1 (considerando θ = 0) que existe uma única solução local uj de (Pj) na
classe
uj ∈ L∞ 7
2α+ (0, T0; D(S 2 ))
u ′ j ∈ L∞ (0, T0; D(S2α+3 )) ∩ L2 7
2α+ (0, T0; D(S 2 ))
u ′′
j ∈ L∞ (0, T0; D(S2α+2 )) ∩ L2 5
2α+ (0, T0; D(S 2 )).
(1.141)
Denotemos por Mj o conjunto constituido pelos números reais T > 0 tal que existe uma
única função uj na classe (1.141) (trocando T0 por T ) sendo uj solução de (Pj) em [0, T ] .
Pelo resultado de existência de solução local logo acima resulta que Mj = ∅. Denotemos
por Tmax,j o supremo dos T ∈ Mj.
Notemos que nesta parte não necessitaremos da limitação 0 < a ≤ u(t) β
W
∀t ∈ [0, T ] , por causa da Observação 1.7.
Seja ϕj(t), j ≥ j0, a função
3
α+
S 2 u
ϕj(t) =
′
j(t) 2
≤ b,
M(uj(t) β
W ) + S α+2 uj(t) 2 , t ∈ [0, Tmax,j[ . (1.142)
Procedendo de modo análogo ao que foi feito para se determinar (1.117) , obtemos:
ϕ ′ j(t) ≤
3
α+
S 2 u ′
j(t) 2
3
α+
βC2C4 S 2 u ′
j(t) − 2δγ0 , t ∈ [0, Tmax,j[ . (1.143)
M(uj(t) β
W )
Agora definimos a função
ψ1(t) = βC2C4 S
α+ 3
2 u ′
j(t) , t ∈ [0, Tmax,j[ . (1.144)
41