Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Teorema 1.2 (Solução Global) Suponhamos as hipóteses (H1)−(H3) e (H7). Consideremos
α, β, δ números reais com α ≥ 0, β ≥ 1, δ > 0 e
satisfazendo
u 0 7
2α+
∈ D(S 2 ), u 1 ∈ D(S 2α+3 ), u 0 = 0
⎡
3
α+
⎢
S 2 u
βC2C3 ⎣
1
2
M(u0 β
W ) + α+2 0
S u 2 ⎤
⎥
⎦
1
2
< δγ0, (1.110)
onde γ0, C2 e C3 foram introduzidos em (1.47) , (1.109) e (H7), respectivamente. Então,
existe uma função u na classe
satisfazendo
(P 2)
Demonstração:
u ∈ L ∞ (0, ∞; D(S α+2 ))
u ′ ∈ L∞ 3
α+ (0, ∞; D(S 2 ))
u ′′ ∈ L∞ 1
α+ (0, ∞; D(S 2 ))
u ′′ + M(u β
W )Su + δSu′ = 0 em L∞ 1
α+ (0, ∞; D(S 2 ))
u (0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 .
(1.111)
Seja M o conjunto constituido pelos números reais T > 0 tais que existe uma única
função u na classe (1.111) (trocando ∞ por T ) com u solução de (P 2) e u(t) W > 0 para
todo t ∈ [0, T ] . O Teorema 1.1 afirma que M = ∅. Seja Tmax o supremo dos T ∈ M.
Se 0 < T0 < Tmax, então resulta da Proposição 1.1 (considere θ = 0 e perceba que
u0 7
2α+ ∈ D(S 2 ), u1 ∈ D(S2α+3 ) e M(u β
W ) está nas condições de (H5)) que a solução
u verifica
u ∈ L∞ 7
2α+ (0, T0; D(S 2 ))
u ′ ∈ L∞ (0, T0; D(S2α+3 )) ∩ L2 7
2α+ (0, T0; D(S 2 ))
u ′′ ∈ L∞ (0, T0; D(S2α+2 )) ∩ L2 5
2α+ (0, T0; D(S 2 ))
33