Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

ou seja,
tal que
t
|um(t)| ≤
0
|u ′ m(s)| ds + |um(0)| ≤ T 1
T
2
Assim de (P A)2, (1.13) e (1.26) segue-se que
(um) é limitada em L ∞ (0, T ; H), ∀T > 0.
Consideremos (um(1)) uma subsequência de (um) tal que
um(1) → u fraco-* em L ∞ (0, 1; H).
Agora consideremos (um(2)) uma subsequência de (um(1)) tal que
um(2) → u fraco-* em L ∞ (0, 2; H).
0
|u ′ m(s)| 2
ds
1
2
+ |u0m| . (1.26)
Repetindo sucessivamente este raciocínio, seja (um(n)) uma subsequência de (um(n−1))
um(n) → u fraco-* em L ∞ (0, n; H).
Desta forma, consideremos a sequência diagonal (um(n)), que é uma subsequência de (um(n)),
∀n. Denotando um(n) por um, temos:
Portanto de (1.15) e (1.27) resulta que
um → u fraco-* em L ∞ loc(0, ∞; H). (1.27)
u ∈ L ∞ 7
2α+
loc(0, ∞; D(S 2 )). (1.28)
Agora como consequência de (1.12) , (1.13) , (H5), (H6) e da igualdade u ′′ m + µ1Sum +
δ (1 + θµ2) Su ′ m = 0 resulta que
Seja 0 < T < ∞. Temos:
(u ′′ m) é limitada em L ∞ (0, T ; H). (1.29)
u ′ t
m(t) = u ′′ m(s)ds + u ′ m(0).
0
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