Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Agora de (1.109) e (1.47) segue-se que
u(t) W ≤ C2 u(t) D(S α+ 3 2 )
C2
≤ √γ0 S α+2 u(t) C2N5 ≤ √ .
γ0
Logo, desta última desigualdade, (H7)1 e (1.121) resulta que
3
α+
S 2 u ′
(t) ≤ N6, ∀t ∈ [0, Tmax[ , (1.123)
onde N6 é uma constante obtida pelos procedimentos citados acima.
Consideremos a sequência de números reais (tν) tal que 0 < tν < Tmax e tν → Tmax. Por
(1.122) e (1.123) temos que existem, respectivamente, χ5 ∈ D(Sα+2 3
α+ ) e χ6 ∈ D(S 2 ), tais
que
e
u(tν) → χ5 fraco em D(S α+2 ) (1.124)
u ′ 3
α+
(tν) → χ6 fraco em D(S 2 ). (1.125)
A seguir mostraremos que χ5 = χ6 = 0. De fato, se χ5 = 0, então com χ5 e χ6
determinamos, por intermédio do Teorema 1.1, a solução local w do problema
(I)
w (0) = χ5, w ′ (0) = χ6.
Assim a função
w ′′ + M(w β
W )Sw + δSw′ = 0 em L∞ 1
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+1 ))
˜ w(t), 0 ≤ t < Tmax
u(t) =
w(t − Tmax), Tmax ≤ t < Tmax + T0
é uma solução do Problema (P 1) em [0, Tmax + T0] , com ũ(t)
> 0, ∀t ∈ [0, Tmax + T0] .
W
Mas isto é uma contradição com a definição de Tmax. Logo, χ5 = 0.
tν
Agora notemos que u(tν) − u(tµ) = u ′ (t)dt. Assim de (1.123) segue-se que
u(tν) − u(tµ) D(S α+ 3 2 ) ≤
tµ
tν
tµ
u ′ (t) D(S α+ 3 2 ) dt ≤ N6 |tν − tµ| .
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