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Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

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(u ′ m) é limitada <strong>em</strong> L ∞ (0, T ; D(S 2α+3 )) (1.13)<br />

(u ′ m) é limitada <strong>em</strong> L 2 7<br />

2α+<br />

(0, T ; D(S 2 )). (1.14)<br />

Como consequência <strong>de</strong> (1.12) , (1.13) e (1.14) , po<strong>de</strong>mos extrair <strong>uma</strong> subsequência <strong>de</strong><br />

(um) e (u ′ m), que ainda serão <strong>de</strong>notadas por (um) e (u ′ m), respectivamente, tais que<br />

um → u fraco-* <strong>em</strong> L ∞ 7<br />

2α+<br />

(0, T ; D(S 2 )) (1.15)<br />

u ′ m → u ′ fraco-* <strong>em</strong> L ∞ (0, T ; D(S 2α+3 )) (1.16)<br />

u ′ m → u ′ fraco <strong>em</strong> L 2 7<br />

2α+<br />

(0, T ; D(S 2 )). (1.17)<br />

Segue da convergência (1.15) que<br />

T<br />

µ1(t) Sum(t), S 4α+6 z T<br />

φ(t)dt → µ1(t) Su(t), S 4α+6 z φ(t)dt, (1.18)<br />

0<br />

∀φ ∈ D(0, T ), ∀z ∈ D(S 4α+6 ).<br />

Agora da convergência (1.16) resulta que<br />

T ′<br />

u m(t), S 4α+6 z φ ′ T<br />

(t)dt →<br />

∀φ ∈ D(0, T ), ∀z ∈ D(S 4α+6 ).<br />

0<br />

Ainda <strong>com</strong>o consequência da convergência (1.16) resulta que<br />

T<br />

δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ m(t), S4α+6z) φ(t)dt →<br />

0<br />

T<br />

→<br />

∀φ ∈ D(0, T ), ∀z ∈ D(S 4α+6 ).<br />

Passag<strong>em</strong> ao Limite<br />

0<br />

δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ (t), S 4α+6 z) φ(t)dt,<br />

0<br />

0<br />

u ′ (t), S 4α+6 z φ ′ (t)dt, (1.19)<br />

(1.20)<br />

Multiplicando a <strong>equação</strong> aproximada (1.6) por φ ∈ D(0, T ) e integrando o resultado <strong>de</strong><br />

0 a T, obt<strong>em</strong>os:<br />

T<br />

0<br />

T<br />

0<br />

(u ′′ m (t) , S 4α+6 z) φ(t)dt +<br />

δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ m (t) , S 4α+6 z) φ(t)dt = 0,<br />

T<br />

µ1(t) (Sum (t) , S4α+6z) φ(t)dt+<br />

0<br />

11<br />

(1.21)

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