Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...
Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...
Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
(u ′ m) é limitada <strong>em</strong> L ∞ (0, T ; D(S 2α+3 )) (1.13)<br />
(u ′ m) é limitada <strong>em</strong> L 2 7<br />
2α+<br />
(0, T ; D(S 2 )). (1.14)<br />
Como consequência <strong>de</strong> (1.12) , (1.13) e (1.14) , po<strong>de</strong>mos extrair <strong>uma</strong> subsequência <strong>de</strong><br />
(um) e (u ′ m), que ainda serão <strong>de</strong>notadas por (um) e (u ′ m), respectivamente, tais que<br />
um → u fraco-* <strong>em</strong> L ∞ 7<br />
2α+<br />
(0, T ; D(S 2 )) (1.15)<br />
u ′ m → u ′ fraco-* <strong>em</strong> L ∞ (0, T ; D(S 2α+3 )) (1.16)<br />
u ′ m → u ′ fraco <strong>em</strong> L 2 7<br />
2α+<br />
(0, T ; D(S 2 )). (1.17)<br />
Segue da convergência (1.15) que<br />
T<br />
µ1(t) Sum(t), S 4α+6 z T<br />
φ(t)dt → µ1(t) Su(t), S 4α+6 z φ(t)dt, (1.18)<br />
0<br />
∀φ ∈ D(0, T ), ∀z ∈ D(S 4α+6 ).<br />
Agora da convergência (1.16) resulta que<br />
T ′<br />
u m(t), S 4α+6 z φ ′ T<br />
(t)dt →<br />
∀φ ∈ D(0, T ), ∀z ∈ D(S 4α+6 ).<br />
0<br />
Ainda <strong>com</strong>o consequência da convergência (1.16) resulta que<br />
T<br />
δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ m(t), S4α+6z) φ(t)dt →<br />
0<br />
T<br />
→<br />
∀φ ∈ D(0, T ), ∀z ∈ D(S 4α+6 ).<br />
Passag<strong>em</strong> ao Limite<br />
0<br />
δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ (t), S 4α+6 z) φ(t)dt,<br />
0<br />
0<br />
u ′ (t), S 4α+6 z φ ′ (t)dt, (1.19)<br />
(1.20)<br />
Multiplicando a <strong>equação</strong> aproximada (1.6) por φ ∈ D(0, T ) e integrando o resultado <strong>de</strong><br />
0 a T, obt<strong>em</strong>os:<br />
T<br />
0<br />
T<br />
0<br />
(u ′′ m (t) , S 4α+6 z) φ(t)dt +<br />
δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ m (t) , S 4α+6 z) φ(t)dt = 0,<br />
T<br />
µ1(t) (Sum (t) , S4α+6z) φ(t)dt+<br />
0<br />
11<br />
(1.21)