Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Pelo Problema (Pl,ν) temos u ′ l,ν (0) = u1l , ∀ν ≥ 2. Portanto, desta última igualdade,
(1.93) e da unicidade do limite resulta que u ′ l (0) = u1 l .
Portanto, acabamos de mostra que o limite ul de ul,ν é uma solução do Problema (Pl).
Segunda Etapa: Existência de Solução de (P 1).
Como ul é o limite de ul,ν resulta, então, que ul satisfaz (1.58). Com isso, concluimos
as seguintes convergências:
ul → u fraco-* em L ∞ (0, T0; D(S α+2 ))
u ′ l → u′ fraco-* em L∞ 3
α+ (0, T0; D(S 2 ))
u ′ l → u′ fraco em L 2 (0, T0; D(S α+2 )).
(1.94)
Resulta de (1.47) e (1.58) que (Sul)l∈N é limitada em L 2 (0, T0; H). Sendo assim, podemos
extrair uma subsequência de (Sul)l∈N, que ainda denotaremos por (Sul)l∈N, tal que
Sul → χ3 fraco em L 2 (0, T0; H). (1.95)
Sendo S um operador fechado resulta de (1.94) 1 e (1.95) que
Sul → Su fraco em L 2 (0, T0; H). (1.96)
Ainda de (1.47) e (1.58) segue-se que (Su ′ l )l∈N é limitada em L 2 (0, T0; H) o que acarreta
na convergência
Su ′ l → χ4 fraco em L 2 (0, T0; H). (1.97)
Novamente de S ser um operador fechado obtemos de (1.94) 3 e (1.97) que
δSu ′ l → δSu ′ fraco em L 2 (0, T0; H). (1.98)
Notemos agora que de (1.59) e (1.83) obtemos a desigualdade
a ≤ ul(t) β
W ≤ b, ∀t ∈ [0, T0] e l ≥ l0(η). (1.99)
No que segue provaremos a convergência
M(ul β
W ) → M(uβ W ) em C0 ([0, T0]) . (1.100)
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