Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Logo, S −(4α+6) w1, S −(4α+6) w2, ... é uma base hilbertiana de D(S 4α+6 ). Assim,
podemos considerar {z1, z2, ...} uma base hilbertiana de D(S 4α+6 ) onde zi = S −(4α+6) wi,
i = 1, 2, ... .
Problema Aproximado
Seja Vm = [z1, z2, ..., zm] o subespaço de D(S4α+6 ) gerado pelos m primeiros vetores de
m
{z1, z2, ...} . O problema aproximado consiste em determinar a função um(t) = gjm(t)zj
solução do problema
(P A)
(u ′′ m (t) , S 4α+6 zj) + µ1(t) (Sum (t) , S 4α+6 zj) +
δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ m (t) , S 4α+6 zj) = 0, zj ∈ Vm
um (0) = u0m → u0 7
2α+ forte em D(S 2 )
u ′ m (0) = u1m → u 1 forte em D(S 2α+3 ).
Notando que os vetores z1, z2, ..., zm são linearmente independentes segue-se que a matriz
(Szi, Szj) é invertível. Sendo assim, concluimos que o sistema (P A) possui uma solução um
definida em [0, tm] , tm < T. Como consequência da estimativa a priori a seguir resulta que
a solução um (t) pode ser extendida ao intervalo [0, T ] , ∀T > 0.
ou ainda,
Estimativa a Priori
Fixa-se T > 0. Como (P A)1 é válida ∀zj, j = 1, 2, ..., m, segue-se que
(u ′′ m (t) , S 4α+6 z) + µ1(t) (Sum (t) , S 4α+6 z) +
δ (1 + θµ2(t)) (Su ′ m (t) , S 4α+6 z) = 0, ∀z ∈ Vm.
Fazendo z = 2u ′ m(t) em (1.6) , obtemos:
d
2α+3 ′
S u m (t)
dt
2 + µ1(t) d
dt
7
2α+
S
d
2α+3 ′
S u m (t)
dt
2 + d
dt
2δ (1 + θµ2(t)) S
2α+ 7
2 um (t) 2
+ 2δ (1 + θµ2(t)) S
µ1(t) S
2α+ 7
2 u ′
m (t) 2
= µ ′
1(t) S
9
2 um (t) 2
+
2α+ 7
2α+ 7
2 um (t) 2
.
j=1
2 u ′
m (t) 2
= 0,
(1.6)
(1.7)