Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Portanto de (1.74) , (1.75) e do Teorema de Arzela-Áscoli para funções reais segue-se
que existe ϕl ∈ C 0 ([0, T0]) tal que
o que implica na convergência
ul,ν−1 β
W → ϕl em C 0 ([0, T0]) (1.76)
M(ul,ν−1 β
W ) → M(ϕl) em C 0 ([0, T0]) . (1.77)
Agora provaremos que M(ϕl) = M(ul β
W ). Para isso, procederemos como segue:
Sejam ul,ν e ul,σ duas soluções dos problemas (Pl,ν) e (Pl,σ), respectivamente. Consideremos
wνσ = ul,ν − ul,σ. Assim, wνσ é a solução do problema
(Pl,νσ)
w ′′
νσ + M(ul,ν−1 β
W )Swνσ + δSw ′ νσ =
wνσ (0) = 0, w ′ νσ (0) = 0.
M(ul,σ−1 β
β
W ) − M(ul,ν−1W )
Sul,σ
Tomando o produto escalar de H em ambos os membros da equação de (Pl,νσ) com
2S 2α+1 w ′ νσ, obtemos:
d
1
α+
S 2 w
dt
′
νσ(t) 2
+ d
M(ul,ν−1(t)
dt
β
W ) α+1
S wνσ(t) 2 + 2δ α+1 ′
S w νσ(t) 2 =
d
M(ul,ν−1(t)
dt
β
W )
Sα+1 wνσ(t) 2 +
2 M(ul,σ−1(t) β
β
W ) − M(ul,ν−1(t)W )
3
1
α+ α+ S 2 ul,σ(t), S 2 w ′
νσ(t) .
(1.78)
Por (1.77) resulta que (M(ul,ν−1 β
W ))ν∈N é uma sequência de Cauchy em C 0 ([0, T0]) .
Assim, ∀ɛ > 0, ∃N0 ∈ N tal que para ν, σ ≥ N0 temos
M(ul,ν−1(t) β
β
W ) − M(ul,σ−1(t)
W )
< ɛ.
Logo, desta última desigualdade, (1.47) e de (1.58) resulta que
2
S
M(ul,σ−1(t) β
β
W ) − M(ul,ν−1(t)W )
2ɛ S
α+ 3
2 ul,σ(t) S
α+ 1
2 1
ɛ α+2
S ul,σ(t)
γ0
2 +
2 w ′
νσ(t) ≤ ɛ2
S
1
α+
S
2 w ′
νσ(t) 2
α+ 3
3
1
α+ α+ 2 ul,σ(t), S 2 w ′ νσ(t)
2 ul,σ(t) 2
1
α+ + S 2 w ′
νσ(t) 2
2
2 N
≤ ɛ
m∗ +
γ0
25
1
α+
S
2 w ′
νσ(t) 2
,
≤
≤
(1.79)