Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

Agora tomando o produto escalar de H em ambos os membros da equação de (Pl,ν) com
2S2α+3u ′ l,ν , obtemos:
d
3
α+
S 2 u
dt
′
l,ν(t) 2
d
dt
M(ul,ν−1(t) β
W )
+ d
M(ul,ν−1(t)
dt
β
W ) S α+2 ul,ν(t) 2 + 2δ S α+2 u ′ l,ν(t) 2 =
S α+2 ul,ν(t) 2 .
(1.66)
Integrando (1.66) de 0 a t, t ∈ [0, T0] , usando (1.56) e o Lema 1.1 (item (iii)), obtemos:
3
α+
S 2 u ′ l,ν (t)
2
3
α+
S 2 u1 l
2
t
d
0 ds
N 2 t
+ N4
2
+ M(ul,ν−1(t) β
W ) |Sα+2 ul,ν(t)| 2 + 2δ
+ M(u 0 l β
W ) |Sα+2 u 0 l |2 +
M(ul,ν−1(s) β
W )
|Sα+2ul,ν(s)| 2 ds ≤
0
S α+2 ul,ν(s) 2 ds.
Sendo assim, de (1.45) e (1.67) , obtemos:
S α+2 ul,ν(t) 2 ≤
2 N N4
+
2m∗ m∗ t
Logo de (1.68) e da desigualdade de Gronwall segue-se que
t
≤
S α+2 ul,ν(t) 2 ≤
2 N
exp
2m∗ 0
0
t
0
S α+2 u ′ l,ν (s) 2 ds ≤
(1.67)
S α+2 ul,ν(s) 2 ds, ∀t ∈ [0, T0] . (1.68)
N4
ds
m∗
2 N N4
exp T0 . (1.69)
2m∗ m∗ Por (1.50) temos 0 < T0 < m∗
ln 2. Desse fato e de (1.69) segue-se que
N4
S α+2 ul,ν(t) 2 ≤
Substituindo (1.70) em (1.67) , obtemos:
3
α+
S 2 u ′ l,ν (t)
2
N 2 t
+ N4
2
0
+ M(ul,ν−1(t) β
W ) |Sα+2 ul,ν(t)| 2 + 2δ
N 2
2 N
ds ≤
m∗ 2 + N4N 2T0 m∗ .
N 2
m ∗ , ∀t ∈ [0, T0] . (1.70)
23
t
0
S α+2 u ′ l,ν (s) 2 ds ≤
(1.71)