Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

(iii) Utilizando a Proposição 1.2, (1.59) , Observação (1.5) e o item (ii) deste Lema,
obtemos:
∀t ∈ [0, T0] .
d
dt
M(v (t) β
W )
≤ βM ′ (v (t) β
W ) v (t)β−1 W v′ (t)W ≤
β max
a≤ξ≤b |M ′ (ξ)| b β−1
β N2 = N4,
No que segue aplicaremos o método das aproximações sucessivas. Consideremos o
seguinte problema:
(Pl,1)
u ′′
l,1 + M(u0l β
W )Sul,1 + δSu ′ l,1 = 0 em L∞ 1
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+1 ))
ul,1 (0) = u 0 l , u′ l,1 (0) = u1 l .
Vamos mostra que ul,1 ∈ F. De fato, inicialmente notemos que pela Proposição 1.1
(considerando θ = 0) resulta que (Pl,1) possui uma única solução ul,1 pertencendo a classe
(1.57) .
Agora tomando o produto escalar de H em ambos os membros da equação de (Pl,1) com
2S2α+3u ′ l,1 , obtemos:
d
3
α+
S 2 u
dt
′
l,1(t) 2
+ M( u 0 l
β d
) α+2
S ul,1(t) W dt
2 + 2δ α+2 ′
S u l,1(t) 2 = 0 (1.60)
Integrando (1.60) de 0 a t, t ∈ [0, T0] , e usando (1.56) , obtemos:
3
α+
S 2 u ′ l,1 (t)
2
3
α+
S 2 u 1 l
2
+ M(u 0 l β
W ) |Sα+2 ul,1(t)| 2 + 2δ
+ M( u 0 l
β W ) S α+2 u 0 l
2 2 N
<
2 ≤ N 2 ,
t
0
S α+2 u ′ l,1 (s) 2 ds =
∀t ∈ [0, T0] . Logo, desta última desigualdade e de (1.45), concluimos que ul,1 satisfaz a
desigualdade (1.58) .
Finalmente vamos mostrar que ul,1 satisfaz a (1.59) . De fato, pelo Teorema do Valor
Médio, obtemos:
u 0 l
β
W
− ul,1(t) β
W = βsβ−1 0
u
l − ul,1(t) W W
21
. (1.61)