Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

1.1 Solução Local
Nesta seção usaremos o método das aproximações sucessivas e o Teorema de Arzela-
Áscoli para funções reais. Aqui será fundamental a Proposição 1.1 e também a Proposição
1.2 que caracteriza a derivada do termo não linear M(u(t) β
W ).
Portanto, com as considerações anteriores, temos o seguinte teorema de solução local:
Teorema 1.1 (Solução Local) Suponhamos as hipóteses (H1) − (H4). Consideremos α, β,
δ números reais com α ≥ 0, β ≥ 1, δ > 0 e
Assuma, também, que
u 0 ∈ D(S α+2 ), u 1 3
α+
∈ D(S 2 ), u 0 = 0. (1.41)
M( 0
u β W ) > 0 com M ∈ C1 e M ′ (ξ) = 0 na vizinhança de 0
u β . (1.42)
W
Então, existem a, b, T0 ∈ R + e uma função u na classe
u ∈ L
∞ (0, T0; D(Sα+2 ))
≤ b, ∀t ∈ [0, T0]
satisfazendo
(P 1)
u ′ ∈ L∞ 3
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+2 ))
u ′′ ∈ L∞ 1
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+1 ))
0 < a ≤ u(t) β
W
(1.43)
u ′′ + M(u β
W )Su + δSu′ = 0 em L∞ 1
α+ (0, T0; D(S 2 )) ∩ L2 (0, T0; D(Sα+1 ))
u (0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 .
Os números a, b e T0 serão determinados no que segue.
Observação 1.4 Pela hipótese (H1) segue-se que D(S α+1 ) é continuamente imerso em W,
isto é, existe uma constante positiva k1 tal que
v W ≤ k1 v D(S α+1 ) , ∀v ∈ D(S α+1 ). (1.44)
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