Uma reconstrução histórico-filosófica do surgimento das geometrias ...

Para Kant (1958), o conhecimento matemático seria um conhecimento a
priori e sintético – a priori porque pode ser adquirido independente da experiência e
sintético porque fala sobre coisas do mundo. A esses conceitos de Kant está
relacionada a ideia de intuição 7 , pois a possibilidade de um conhecimento a priori e
sintético deve-se ao fato de nossa mente dispor de formas de espaço e tempo, as
quais Kant chama de formas puras de intuição. De acordo com Carnap (1995), para
Kant a intuição é impecável: se vemos uma verdade geométrica claramente em
nossa mente, não apenas com os olhos, vemos com completa certeza.
Com o desenvolvimento das geometrias não euclidianas, a caracterização da
geometria como uma verdade baseada na intuição perde força. A verdade
geométrica deixa de ser absoluta, havendo, então, a possibilidade de geometrias
alternativas à euclidiana.
A concepção de uma nova geometria, aqui explicitada como geometria não
euclidiana, está de acordo com a concepção de novo sistema de entidades,
explicitado por Carnap (1988), necessitando para isso novas maneiras de falar,
sujeito a novas regras, ou seja, a construção de um sistema de referência linguístico
para as novas entidades em questão. Portanto, aceitar ou não aceitar um sistema
não significa aceitar um sistema referente à realidade das coisas. A escolha pela
geometria proposta por Euclides, a escolha pela geometria não euclidiana ou a
escolha por qualquer outra geometria deve satisfazer a esperança de melhores
resultados empíricos ou lógicos. Poincaré (1984), neste mesmo sentido, afirma que
a experiência não pode decidir entre uma geometria e outra e, ainda mais, que é
impossível dizer que uma geometria é verdadeira e real. Para ele, os princípios da
geometria não são fatos experimentais, pois se assim fosse, ela seria provisória e
fácil de ser derrubada. Os axiomas da geometria – que, para Poincaré “não passam
de definições disfarçadas” (1984, p.54) – permanecem válidos mesmo que todo e
qualquer experimento indique que são meras aproximações, pois são justamente
axiomas.
Uma geometria baseada em axiomas não pode ser dita como sendo um
sistema baseado em verdades, mas simplesmente em axiomas convenientes. Por
esse motivo, Poincaré (1984, p.54) diz que os axiomas não são “nem juízos
7 Do alemão, Anschauung.
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