Uma reconstrução histórico-filosófica do surgimento das geometrias ...

Figura 9: ângulo de paralelismo
Fonte: ROSENFELD (1988, p.221)
Assim, na figura abaixo (figura 10), é uma paralela à , pois dada a
distância de a , , tem-se como o ângulo de paralelismo. No plano
hiperbólico, então, as retas e não cortam a reta , mas formam com
ângulos maiores que o de paralelismo, ou seja, na terminologia de Lobachevsky
não são paralelas à reta , assim como a reta , que não é paralela à reta por
cruzar com ela. A reta se encontra no limite entre as retas que cortam e as que
não cortam a reta e, portanto, é paralela à reta . Da mesma forma, do outro
lado da perpendicular , tem-se como paralela à devido ao seu ângulo de
paralelismo .
Figura 10: ângulo de paralelismo
Fonte: KATZ (1998, p.775)
Tem-se, então, e . Isso quer dizer que
quanto menor o valor de , mais próximo se está da geometria euclidiana, isto é,
quando as distâncias são pequenas, o plano hiperbólico se assemelha muito ao
euclidiano. Lobachevsky mostrou ainda que para todo ângulo há um valor , tal
que (ROSENFELD, 1988, p.221).
Importantes consequências são decorrentes do axioma hiperbólico: