Uma reconstrução histórico-filosófica do surgimento das geometrias ...

acumulavam riquezas, enquanto crescia a miséria e a insegurança dos pobres. Estes
eram responsáveis por todo trabalho manual e sustentavam a ociosidade de seus
dirigentes, que podiam, desta forma, dedicar-se aos estudos da filosofia (STRUIK,
1992, p.83).
O primeiro dos treze livros de Os Elementos contém 23 definições, 5
postulados e 9 noções comuns 11 . São os postulados:
(1) Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo
ponto.
(2) Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma
reta.
(3) E, como todo centro e distância, descrever um círculo.
(4) E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
(5) E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos
interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo
prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontram-se no lado
no qual estão os menores que dois retos.
(EUCLIDES, 2009, p.98)
O quinto postulado, também conhecido como o postulado das paralelas,
parece ter sido evitado por Euclides: Proclo (século V), grande comentarista de Os
Elementos, notou que as primeiras 28 proposições – das 465 de todos os livros da
obra – são demonstradas sem que ele fosse citado, sendo que muitas dessas
proposições seriam muito mais facilmente demonstradas se utilizado o quinto
postulado (MORENO; BROMBERG, 1987 apud BRITO, 1995).
O quinto postulado de Euclides é muitas vezes enunciado de outra forma:
para toda reta e todo ponto fora de , pode-se traçar uma única reta paralela a
que passe por . Esse é o chamado postulado de Playfair, pois, de acordo com
Greenberg (2001, p.19), apareceu dessa forma em um trabalho de John Playfair em
1795, apesar de já ter aparecido muito antes nos trabalhos de Proclo.
11 Na edição Os Elementos (EUCLIDES, 2009) aqui utilizada usa-se o termo postulado para
afirmações referentes à geometria que são aceitas sem demonstração e noções comuns para outras
afirmações que são aceitas sem demonstração, não especificamente referentes à geometria. O
mesmo acontece na edição inglesa (HEATH, 1968). Porém, dentre as inúmeras edições da obra, há
muitas que, ao invés de noções comuns, utilizam o termo axioma para as afirmações aceitas sem
demonstração que não se referem à geometria em particular. Aqui utilizaremos os termos postulado e
axioma como sinônimos, sendo as afirmações (específicas ou não à geometria) aceitas sem
demonstração.
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