Uma reconstrução histórico-filosófica do surgimento das geometrias ...

no século XIX com o surgimento das geometrias não euclidianas (GREENBERG,
2001, p.177). Notou-se que o quinto postulado de Euclides além de não poder ser
provado – de fato tratava-se de um postulado – poderia ser negado sem que
contradições ocorressem. Três matemáticos merecem grande destaque nesse
episódio: Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860) e
Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Este momento histórico favorável relaciona a geometria com outras ciências,
com a lógica, por exemplo. O desenvolvimento da lógica simbólica (ou moderna)
foi fundamental para a possibilidade de desenvolvimento das geometrias não
euclidianas.
A lógica aristotélica (ou antiga) estava em consonância com o raciocínio de
Kant (1958) que relacionava o conhecimento geométrico com a intuição. Isso
significa que certos postulados e certos argumentos podiam ser autoevidentes, ou
seja, não podiam ser provados, mas a intuição bastava para serem aceitos como
verdades. Já na lógica simbólica, desenvolvida nos séculos XVIII e XIX, não
existem evidências intuitivas: axiomas são aceitos (por conveniência)
simplesmente; não tratam da verdade. De acordo com Einstein (2005, p.665), “o
progresso alcançado pela axiomática consiste em ter separado claramente aquilo
que é lógico-formal daquilo que constitui o seu conteúdo objetivo ou intuitivo”.
Além disto, Carnap (1995, p.127), afirma que sem uma lógica
suficientemente poderosa para estabelecer regras estritamente lógicas para
demonstrações geométricas, as falhas nas tentativas de prova do quinto postulado
eram muito difíceis de serem detectadas. Havia sempre algum apelo a uma
premissa apoiada na intuição e não decorrente dos outros postulados. Muitas vezes
essa premissa tratava justamente de algo equivalente ao próprio quinto postulado,
como mostramos aqui.
Com o desenvolvimento da lógica simbólica, muda-se o conceito de axioma
(ou postulado). Deixa de ser a verdade indemonstrável e passa a ser a definição
daquilo que é aceito. Deixa de fazer sentido, então, tentar demonstrar algo que é
tomado como axioma. Desta forma, abre-se a possibilidade para a geometria não
baseada na intuição, mas baseada em axiomas.
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