Teoria de Nós - ICMC - USP

6 Capítulo 2: Pré-requisitos
(a) α : A → B para α ∈ hom(A, B); α será denominado "morfismo deC"com "domínio A"
e "contradomínio B".
(b) c(α, β) será indicado β◦α que pelas condições apresentadas só terá sentido se o domínio
de β for o contradomínio de α.
(c) É claro que a tripla composição γ ◦ β ◦ α tem significado quando os domínios e
contradomínios forem compatíveis.
Um elemento θ ∈ hom(A, B) será chamado uma equivalência em C se existir
ψ ∈ hom(B, A) tal que ψ◦θ = 1 A e θ ◦ ψ = 1B (É claro que neste caso, ψ também
será uma equivalência).
Se um elemento θ ∈ hom(A, B) é uma equivalência, então o elemento ψ tal que
ψ◦θ = 1 A e θ◦ ψ = 1B é único.
Vejamos: seja ¯ψ outro elemento de hom(B, A) | ¯ψ◦θ = 1 A e θ ◦ ¯ψ = 1B, então
teremos ψ = 1A◦ ψ = ¯ψ◦θ◦ ψ = ¯ψ◦1B = ¯ψ
O elemento ψ nas condições acima, fica bem definido pela θ (quando existir) e será
denominado inverso de θ sendo indicado θ −1 .
Exemplos de Categorias:
1. A classe constituída de um único grupo G, isto é, a categoria terá apenas um
elemento; hom(G, G) será considerado como sendo o próprio G.
A aplicação c será definida por c(a, b) = a•b onde • é a operação existente em
G. A aplicação "1"será a aplicação que à g ∈ G associa o elemento neutro. É fácil
verificar as condições.
2. R M constituída de todos os módulos a esquerda de um anel R. Os objetos
são os R-módulos, isto é, A, B, C... são os R-módulos. hom(A, B) será o
conjunto HomR(A, B) de todos os homomorfismos de R-módulos de A em B.
A composição (c) é a usual. É fácil verificar as condições.
3. A classe de todos os conjuntos tomando como morfismos as funções entre os
conjuntos.
4. A classe de todos os grupos tomando-se como morfismos os homomorfismos
entre elas.
5. A classe dos grupos abelianos também como morfismos os homomorfismos.
6. A classe dos espaços topológicos com os morfismos as aplicações contínuas entre
eles.
Dadas duas categorias C e D um Funtor Covariante T está definido de C para D
quando tivermos:
(a) A cada objeto A de C fica associado um único objeto T(A) de D.
(b) A cada morfismo α de C fica associado um único morfismo T(α) de D, onde estas
associações respeitam as condições: