Teoria de Nós - ICMC - USP

22 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
Aqui estamos interessados em nós e enlaçamentos mansos ("não selvagens"), que
incluem os diferenciáveis, os diferenciáveis por partes, os lineares por partes (PL), os
de colarinho duplo, etc. Estaremos portanto nos restringindo à nós e enlaçamentos
nestas categorias.
Em geral os nós e enlaçamentos são colocados em classes de equivalência e se
estuda estas classes. Quando nada se explicitar, estaremos considerando a relação de
equivalência dada por isotopia ambiental, isto é:
Definição 3.1 Sejam i0, i1 : S 1 ֒→ M 3 dois nós, dizemos que i0 é ambientalmente isotópico a
i1, se existe uma PL-deformação (isotopia que se inicia na identidade), H : M 3 × I → M 3 × I,
dada por H(y, t) = (ht(y), t), onde h0 = id M 3 e i1 = h1◦ i0.
A definição desta equivalência para enlaçamentos é similar à acima, por isso não a
apresentamos.
Intuitivamente o que a isotopia ambiental faz é criar um movimento no ambiente
(M 3 ) de tal forma que o primeiro nó "K0 = i0(S 1 )" se desloca continuamente
conforme passa o tempo t ∈ [0, 1] até que no final do movimento (t = 1) se situa
exatamente em K1 = i1(S 1 ). Usamos a notação K0 ∼ K1 para indicar que os nós
são equivalentes e K0 ≁ K1 caso contrário. Note que se i k for definida a menos de
homeomorfismo definido no domínio (neste caso S 1 ) é porque estamos interpretando
os nós essencialmente como suas imagens K0 e K1, e neste caso, a notação acima é bem
mais significativa.
Nós e enlaçamentos mansos são aqueles que são isotópicos a nós e enlaçamentos
poligonais, isto é, aqueles que são constituídos por uma seqüencia de segmentos de
reta (PL). Daqui para frente nós e enlaçamentos serão sinônimos de nós e enlaçamentos
mansos. Quando não houver perigo de confusão identificamos um nó ou um
enlaçamentos com sua classe.
Quando fixamos orientação ao (s) círculo (s) e ou a M 3 e exigimos que a relação
de equivalência preserve as orientações estaremos falando de nós ou enlaçamentos
orientados. Em geral o contexto deixa claro o que se estuda.
Dado um nó ou enlaçamento poligonal emR 3 é sempre possível escolher um plano
de tal forma que a projeção do nó sobre este plano tenha características convenientes
quais sejam: ter no máximo pontos duplos e os pontos duplos só ocorrem nos interiores
dos segmentos que constituem o nó. Uma projeção desta forma é chamada projeção
regular do nó.
É claro que a projeção regular de um nó não determina sua classe mas se em cada
ponto duplo de uma destas projeções designarmos qual o segmento que esta "por
baixo", então a classe do nó fica determinada por esta projeção regular "qualificada".
Uma projeção regular qualificada de um nó é chamado um diagrama do nó e as vezes
apenas por projeção regular do nó. Note que em geral apresenta-se um desenho do
nó no plano onde o trecho que esta por baixo fica interrompido e o nó se apresenta
como uma seqüencia de segmentos de reta.
Dois diagramas de nós ou enlaçamentos são ditos equivalentes se um pode ser
transformado no outro por seqüencias de movimentos chamados de "Reidemeister"
que são seis e estão descritos abaixo (em cada desenho temos um movimento e seu
correspondente inverso).
Observe que nos desenhos deveríamos estar apresentando as projeções dos nós com
linhas poligonais, isto é, por segmentos de retas, no entanto, abusaremos novamente