Teoria de Nós - ICMC - USP

28 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
este número é um. É fácil ver também que se o nó tem n cruzamentos então este
numero é ≤ (n− 1).
O Gênero
Dada uma superfície orientável com bordo dizemos que seu gênero é o gênero da
superfície sem bordo obtida dela colando-se um disco em cada componente de bordo.
É possível provar que todo nó é bordo de uma superfície orientável e conexa
mergulhada em M 3 . Este resultado pode ser provado usando um diagrama do nó.
Se o nó for o trivial é claro que um disco D 2 ⊂ M 3 borda o nó, mas para nós mais
complicados a superfície pode ter gênero muito grande. Novamente observamos que
dada uma destas superfícies é possível através de "somas conexas ambientais" com
"pequenos toros" aumentar o genus destas superfícies. Novamente o gênero mínimo
de tais superfícies é um invariante da classe de isotopia ambiental dos nós. O nó trivial
tem gênero zero, os nós trevos têm gênero um. Este invariante pode ser determinado
através do grupo do nó (definição abaixo), veja [Neuwirth].
O determinante
Este invariante tem este nome porque será o determinante de um sistema de
equações lineares, com coeficientes nos inteiros obtido de equações da forma r+s =
2w que surgem dos cruzamentos de um diagrama do nó. Os procedimentos são os
seguintes:
Considere um diagrama de um nó K, suponha que o mesmo tenha n cruzamentos:
1. Associe a cada arco uma variável, digamos, x1, x2, ...., xn.
2. Em cada cruzamento escreva uma equação da forma r+s = 2w substituindo w pela
variável associada ao arco que no cruzamento passa por cima e substituindo r e s pelas
outras variáveis dos arcos que no cruzamento passam por baixo. Com isto temos n
equações e n variáveis.
3. Coloque qualquer uma da variáveis= 0.
4. Descarte uma equação qualquer.
5. No sistema (n − 1) × (n − 1) obtido, calcule o módulo do determinante dos
coeficientes, este valor inteiro, chamado determinante do nó, será denotado D(K).
Prova-se que D(K) é um invariante de nós, veja [Hacon] para mais detalhes e vários
exemplos. Na figura 3.8 veja o calculo do determinante de três nós.
Vemos então que o nó trivial, o nó trevo e o nó K da figura são todos não
equivalentes. Veremos mais adiante que é possível obter este invariante de outro
invariante, o Polinômio de Alexander, que é portanto um invariante mais "poderoso"
que o determinante.
Observações 3.1 Observemos que os grupos de homologia do complementar dos nós e dos
enlaçamentos, H i(X;Z), não distinguem os nós ou os enlaçamentos,isto é, para cada i, estes
grupos são sempre os mesmos, pouco importa os nós ou os enlaçamentos que consideremos,
logo não servem com invariantes para diferenciar entre os nós ou entre os enlaçamentos, em
particular para qualquer nó H1(X;Z) ≃ Z veja [Hacon], pagina 75 para uma prova disto.
Esta observação vale para as dimensões mais altas também.