Teoria de Nós - ICMC - USP

42 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
de ambas.
Exercícios
Tente responder a questão acima no caso de:
1. L ser a reunião disjunta de 2 curvas simples.
2. L ser a reunião em um ponto de duas curvas simples (figura 8).
3. L ser a reunião disjunta de n curvas simples.
Teorema 4.5 (De Schönflies) Nas hipóteses do teorema anterior, uma das componentes de
R 2 − L ou as duas componentes de S 2 − L são homeomorfas ao disco D 2 .
Corolário 4.2 Quaisquer dois nós de S 1 em S 2 ou emR 2 são equivalentes por homeomorfismo
no contradomínio.
O corolário acima também é válido para a equivalência por isotopia ambiental. Veja
prova em [Rolfsen(1976)], pagina 11.
Exercícios
1. O que se pode dizer de enlaçamentos de vários círculos disjuntos em S 2 ou emR 2 .
2. O que se pode dizer da classificação de mergulhos da reunião em um ponto de dois
círculos (figura 8) em S 2 ou emR 2 .
Vamos apresentar de forma muito resumida o estudo dos mergulhos do círculo
S 1 no toro T 2 = S 1 × S 1 . Neste caso temos resultados completos e não triviais e a
referência é [Rolfsen(1976)]
O grupo fundamental do toro é abeliano logo isomorfo ao seu primeiro grupo
de homologia, isto é, π1(T 2 ) ≃ Z ⊕ Z ≃ H1(T 2 ;Z) e as classes de homotopia
representáveis por mergulhos são da forma (a, b) ∈ Z⊕Z tal que: ou a = 0 = b
ou m.d.c.(a,b)=1.
Um nó que borda um disco D 2 é chamado trivial ou não essencial, corresponde à
classe (0, 0) no grupo fundamental, caso contrário é chamado não trivial ou essencial.
Um nó correspondente à (±1, 0) é chamado nó longitudinal e um correspondente à
(0,±1) é chamado nó meridional.
É fácil ver que todos os nós triviais são equivalentes por isotopia ambiental (e como
conseqüência são equivalentes por homeomorfismo na imagem). É fácil também ver
nós meridionais e longitudinais são equivalentes por homeomorfismo na imagem.
A demonstração dos resultados abaixo podem ser vistos em [Rolfsen(1976)].
Proposição 4.1 Para todo nó K essencial em T 2 , isto é, [K] não correspondente à (0, 0) no
grupo fundamental, existe um homeomorfismo h : T 2 → T 2 tal que a imagem de K é um nó
meridional.
Observe que esta proposição nos diz que todo nó que não seja o trivial é equivalente
por um homeomorfismo em T 2 ao nó meridional, ou seja, temos o seguinte teorema de
classificação de nós no toro, por homeomorfismo na imagem:
Teorema 4.6 (Classificação dos nós no toro T 2 por homeomorfismo na imagem)
Existem apenas dois tipos de nós no toro por homeomorfismos na imagem, os equivalentes ao
trivial (não essenciais) e os equivalentes a um nó meridional (os essenciais).
A classificação por isotopia ambiental é dada por: