Teoria de Nós - ICMC - USP

40 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
pequena deformação) neste R3 podemos supor que o nosso nó K esteja totalmente
contido em R3 (0) e que apenas um de seus segmentos, que chamaremos β0, esteja no
eixo P. Denotemos β = K−interior de β0, isto é, β é a reunião de todos os outros
segmentos do nó, excluído (o interior de) β0, β é homeomorfo à um segmento e o nó
K = β ∪ β0. Usando-se o teorema de Seifert-van Kampen é possível mostrar que a
inclusão jK : R3 (0)−K → R3 1,3,4− K induz um isomorfismo nos grupos fundamentais
− K).
jK∗ : π1(R 3 (0)−K) → π1(R 3 1,3,4
Denotemos S2 K = Rot(β), e é fácil ver que S2 K ≃ S2 é uma 2-esfera mergulhada em
R4 .
Observemos que se tivéssemos colocado o nó K no interior de R3 (0) obteríamos
pela rotação um toro enodado emR 4 .
Estudemos o grupo do nó S2 K .
Temos a inclusão iK : R3 (0)−K ֒→ R4 −(S 2 K ∪ β0) e a retração HK : R4 −(S 2 K ∪
β0) → R3 (0)−K definidas por restrição de i e H, então HK ◦ iK = IdR3 (0)−K . Logo as
induzidas nos grupos fundamentais nos dá HK∗◦ iK∗ = Id π1(R 3 (0)−K)
o que nos permite
concluir que iK∗ é injetiva. Isto já seria suficiente para garantir que o mergulho não é
trivial.
Usando-se o Teorema de Seifert-van Kampen é possível mostrar que a inclusão
jS2 : R
K 4 − (S2 K ∪ β0) → R4 − S2 K induz um isomorfismo nos grupos fundamentais
jS2 K∗ : π1(R4 −(S 2 K ∪ β0)) → π1(R4 − S2 K ).
O próximo passo é provar que iK∗ : π1(R 3 (0) − K) → π1(R 4 − (S 2 K ∪ β0)) é
sobrejetiva. Para isto consideremos [s] ∈ π1(R 4 − (S 2 K ∪ β0)) onde s : [0, 1] →
R 4 −(S 2 K ∪ β0), s(0) = q = s(1), s constituído por uma seqüencia de segmentos de
retas s1.s2......sm com vértices q = q0, q1, ...., q j, ..., qm = q, onde q ∈ P − K ponto
base de todos os espaços envolvidos. Os segmentos que porventura cruzem R 3 (0)
são divididos inserindo-se na seqüencia de vertices de s estes pontos de intersecção.
Manteremos a notação supondo na notação inicial que nenhum dos segmentos cruzem
R 3 (0).
Para cada q j ∈ P− K, q j = q, escolha caminho v j em P− K ligando q j à q, para
os outros q k’s, isto é, para aqueles que estão em folhas (abertas) do tipo R 3 (θ k)−P,
escolhemos caminhos vk emR 3 (θk) ligando qk à q.
Substituímos s por s1.v1.v −1 −1 −1
1 .s2.v2.v2 .s3.v3.v3 ....sj.v j.v −1
j ....sm−1.vm−1.v −1
m−1 .sm que
é homotópico a s e que é constituídos por caminhos fechados com ponto base q que, ou
já estão emR3 (0)−K ou estão entre duas folhasR 3 (θr) e R3 (θs) com 0 ≤ θr ≤ θs ≤ 2π.
Mostremos que os caminhos que estão entre as duas folhas são homotópicos em
R4 − (S2 K ∪ β0) a caminhos em R3 (0) − K, mais precisamente, provemos que se λ é
um caminho fechado com ponto base q cuja imagem fica entre duas folhas R3 (θr) e
R3 (θs) com 0 ≤ θr ≤ θs < 2π ( ou 0 < θr ≤ θs ≤ 2π conforme a conveniência)
então λ ≃ HK ◦ λ, este ultimo caminho fechado esta em R3 (0)−K. É fácil ver que a
aplicação W : [0, 1]×[0, 1] → R4 −(S 2 K ∪ β0), dada por W(s, t) = Rot −t.θ(λ(s))
P (λ(s))
é uma homotopia entre λ e HK ◦ λ. A conclusão é que s pode ser escrito como uma
composição de outros caminhos, todos, na imagem de iK∗ e portanto [s] esta nesta
imagem, ou seja iK∗ é sobrejetiva e logo o grupo do nó S2 K em R4 é isomorfo ao grupo
do nó K emR 3 .
O processo acima, que chamaremos "rodar"(spinning) tem uma generalização que