Teoria de Nós - ICMC - USP

Teoria de Nós
Oziride Manzoli Neto
ICMC - USP
2 o Colóquio da Região Sudeste
Janeiro de 2013

Sumário
1 História da Teoria de Nós 1
2 Pré-requisitos 5
2.1 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 O básico de Categorias e Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 O básico de Anéis de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Topologia Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 O básico de Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 O básico de Homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 O básico de Topologia Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Teoria Clássica de Nós 21
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Número de enlaçamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Outras Teorias de Nós 37
4.1 Teoria Multidimensional de Nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 O caso especial de S 2 em S 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 O círculo no plano, na esfera, no espaço projetivo e no toro . . . . . . . . 41
4.4 O Cilindro e a Faixa de Möbius emR 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Mergulhos de Superfícies emR 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 RP 2 não mergulha emR 3 47
Referências Bibliográficas 49
iii

Capítulo 1
História da Teoria de Nós
O estudo dos nós e enlaçamentos de forma razoavelmente formalizada começa com
Gauss em 1833, veja [Gauss]. Ele e alguns de seus alunos começam estudar o assunto,
focalizando enlaçamentos, pois o interesse era o número de enlaçamentos (linking
number) de um enlaçamento (link). Seus estudos tinham como objetivo aplicações
na eletrodinâmica.
Lord Kelvin, como muitos de sua época, acreditava que os nós eram a chave para o
entendimento das substâncias químicas, que seriam descritas pelas "formas dos nós".
Tabelando-se os nós ter-se-ia uma descrição das substâncias químicas. Começa então
uma corrida para se obter tabelas de nós, nós cada vez mais complexos, isto significava,
cada vez com mais cruzamentos.
A primeira tabela de nós foi feita por T. P. [Kirkman]. P. G. [Tait] também faz uma
tabela dos nós alternados de até dez cruzamentos.
E. Rutherford e D. Mendeleev põem fim a esta animação, Rutherford cria o
modelo dos átomos, que até hoje utilizamos e a ênfase na pesquisa dos elementos
químicos muda para a Tabela Periódica organizada por Mendeleev. Praticidade para os
químicos, frustração para os matemáticos, que continuam os estudos de nós, sem mais
a esperança de que os mesmos poderiam estar descrevendo os elementos químicos.
Estudar nós torna-se então trabalho "abstrato"de matemáticos.
C. N. Little pega no pesado durante seis anos e produz tabela de 43 nós de
dez cruzamentos. Sua tabela não foi contestada por muito tempo, em 1974, Perko
descobriu que dois nós da tabela de Little eram o mesmo [Perko]. Portanto na lista de
Little só havia 42 nós diferentes. Little também fez uma tabela de nós alternados de
onze cruzamentos, eventualmente se descobriu a falta de outros onze nós. Era preciso
um pouco de ordem neste trabalho!
A Topologia começou a ser reconhecida como área distinta da Matemática no
inicio do século vinte e seu grande desenvolvimento começou na década de 1930.
Tem sido uma área de muito desenvolvimento e tem influenciado muitas outras
áreas da matemática. Ela começa em resposta a certas necessidades dentro da
Análise. É uma espécie de "geometria rústica"cujo objetivo e salientar os aspectos
qualitativos dos objetos geométricos. As idéias da Topologia tem penetrado quase
todas as áreas da matemática e na maioria dessas aplicações ela fornece ferramentas
e conceitos para provar certas proposições básicas conhecidas genericamente como
"teoremas de existência". Os primórdios das idéias topológicas podem ser encontrados
no trabalho de K. Weierstrass na década de 1860 no qual ele estuda o conceito
1

2 Capítulo 1: História da Teoria de Nós
de limite de uma função. Ele desenvolve a construção do sistema de números
reais e revela algumas de suas propriedades importantes conhecidas agora como
propriedades topológicas. Depois vem G. Cantor (1874-1895) que desenvolveu a Teoria
dos Conjuntos, garantindo os fundamentos para a Topologia.
Um segundo aspecto da Topologia, chamado combinatorial ou algébrico, foi
iniciado nos anos 1890 por H. Poincaré estudando calculo integral em dimensões
altas. O primeiro aspecto, normalmente chamado Topologia Conjuntista (point
set topology), foi fundamentada por F. Hausdorff e outros no período 1900-1910.
A compatibilização dos dois aspectos, conjuntista e combinatória, foi estabelecida
primeiro por L. E. J. Brouwer, quando o mesmo desenvolveu o conceito de dimensão
e depois, definitivamente, por J. W. Alexander, P. L. Alexandrov e S. Lefschetz no
período 1915-1930. Até este período, Topologia era conhecida por "Analisys Situs".
Foi S. Lefschetz quem primeiro a usar o nome Topologia.
Fruto do desenvolvimento da matemática em geral e da topologia em
particular, surgem os primeiros trabalhos apresentados de forma sistemático sobre
Teoria dos Nós, Teoria de Enlaçamentos e sobre os Grupos de Tranças. Veja
as referências [Dehn(1910)], [Dehn(1914)], [Alexander(1923)], [Alexander(1928)],
[Reidemeister(1926)], [Reidemeister(1926’)] e [Artin(1926)].
No inicio desta era, M. G. Haseman, listou os nós não equivalentes aos seus
espelhados (aquirais?) com doze cruzamentos [Haseman].
J. Alexander (1927) estabelece lista dos nós até oito cruzamentos, K. Reidemeister
(1932) até nove cruzamentos. J. Alexander e G.B. Briggs, usando uma forma de
apresentar os nós criada por W. Wirtinger, estabelece um procedimento muito eficiente
de distinguir nós, a idéia era calcular o que ficou chamado Polinômio de Alexander
de um nó. Polinômios diferentes, nós não equivalentes! Só em 1984 é que se criaram
outros tipos de polinômios com o mesmo objetivo.
C.D. Papakyriakopoulos e J. Conway desenvolvem métodos mais simplificados de
se calcular os Polinômios de Alexander.
Começa também o estudo de nós em dimensão mais alta, isto é, o estudo dos
mergulhos das esferas de dimensão n ≥ 2 em esferas de dimensão maior que n, veja
[Artin(1926)].
J. Conway [Conway] desenvolve nova notação para nós e com isso determina os
nós primos de até onze cruzamentos. A. Caudron(1978) repara alguns erros na lista de
Conway.
C. H. Dowker inventa uma nova forma de representar nós, baseado em idéias de
Tait. Um algoritmo é feito e implementado em computador por M. B. Thistlethwaite.
Assim obtém-se em 1981 lista de nós primos de até doze cruzamentos e em 1982 de
treze cruzamentos.
C. Ernest e D. W. Sumners, em 1987, usando resultados de L. H. Kauffman, K.
Murasugi e de Thistlethwaite avaliam que o número de nós de n cruzamentos é maior
ou igual a (2n−2−1)/3. Em 1990, D. J. A. Welsh avalia que o número de nós de n
cruzamentos é menor que uma certa função de n.
Na década de 1980 bioquímicos descobriram enodamentos nas moléculas de DNA!
Surgem questões como: "Seria possível criar moléculas enodadas?"; "Enodamentos
poderiam determinar algumas das propriedades das substâncias? "Moléculas
enodadas que não são topológicamente equivalentes às espelhadas dão origem à
substâncias diferentes?".

Na Teoria Clássica dos Nós e Enlaçamentos surgem muitos outros invariantes com
o objetivo de distinguir suas classes, particularmente vários outros polinômios como
acima citado, veja [Kauffman(1988), Kauffman(1989)].
Trabalhos recentes mostram que este estudo tem produzido conhecimento
matemático valioso, relacionando a Teoria de Nós e Enlaçamentos com outras áreas
de conhecimento como: Teoria Topológica de Campos e Mecânica Estatística na
Física, o estudo do DNA na Biologia e o estudo das estruturas tridimensionais das
moléculas (stereochemistry) na Química, veja muita coisa interessante sobre isto em
[Flapan]. Voce poderá ver também uma foto de uma molécula enodada de DNA em
[Wasserman et al.].
O estudo de mergulhos de variedades em variedades é uma generalização natural
destes estudos, assim como é o estudo de mergulhos de outros espaços, como grafos,
em espaços comoR 2 ,R 3 ou em Superfícies.
Para fazer justiça ao nome do mini-curso gostaria de apresentar uma boa visão
sobre a Teoria dos Nós Clássica por isso a maior parte do curso será dedicada a este
tópico.
Veremos desde o começo que precisamos de muitas ferramentas da Topologia e da
Algebra para estudar este assunto. Procuraremos portanto apresentar inicialmente,
o suficiente (espero sem exagero!) destas ferramentas para o bom entendimento do
curso. Devemos lembrar que estes pré-requisitos são muito úteis também para se
estudar muitos outros assuntos. O participante do curso não precisa ver os detalhes
destas ferramentas durante o curso mas é uma grande oportunidade de ter um contato
com elas. Portanto, se houver tempo, não deixe de dar uma boa olhada nos pré
requisitos, e tirar dúvidas durante as aulas, esse material, também, está bem resumido
e incompleto mas é muito interessante e útil.
Queremos apresentar também neste mini-curso um bocadinho da correspondente
teoria multidimensional, tudo dentro do contexto mais geral de mergulhos de
variedades em variedades.
A maioria dos resultados serão só enunciados ficando as demonstrações para serem
vistas nas referencias. Algumas poucas provas serão apresentadas, principalmente
se forem fáceis! Na maioria das referências, principalmente nos livros, podemos
encontrar quase todos os assuntos aqui abordados. A minha preferência pessoal é que
determinou o que citar em cada caso. Pode ser que a citação não seja a mais adequada
para o gosto de cada um, por isso é bom que cada um procure olhar vários textos até
achar o que mais lhe agrada para estudar.
O assunto Nós e Enlaçamentos esta bastante relacionado com os Grupos de Tranças.
Não abordaremos este assunto aqui, sobre isto temos vários textos interessantes em
particular temos disponível no site do XV Encontro Brasileiro de Topologia - Rio
Claro (2006) o texto do mini-curso "The Braid Groups"ministrado naquele encontro
pelo Professor Dale Rolfsen [Rolfsen(2006)]. Nas notas do mini-curso existe uma
bibliografia sobre o assunto e sugestões de vários textos para leitura, em particular
veja uma prova do teorema de Alexander/Markov em [Morton].
As perguntas e os exercícios, quando sugeridos no texto, nem sempre são fáceis.
Acho que alguns eu não sei responder ou se sei responder não tenho certeza se teria
uma boa prova, no entanto não resisto a tentação de apresentá-los.
Neste curso as questões de mergulhos de objetos mais gerais como é o caso do
mergulhos de grafos emR 2 ouR 3 serão abordados apenas superficialmente. Usaremos
3

4 Capítulo 1: História da Teoria de Nós
um resultado sobre mergulhos de grafos emR 3 para provar que o espaço projetivo não
mergulha emR 3 . (se der tempo!)
Em outras áreas da matemática, questões semelhantes são estudadas, por exemplo
os Teoremas de Sylow estudados em Teoria de Grupos estudam os "mergulhos"de
certos sub-grupos mais simples (os p-grupos), em um grupo dado.
Similarmente, uma parte da Teoria de Fibrados Vetoriais consiste em estudar se
certos fibrados são sub-fibrados de outros fibrados de dimensão maior.
Esperamos com isso que o participante possa ter uma boa idéia desta parte tão
importante da matemática.
Além deste primeiro capítulo histórico, teremos um capitulo de pré-requisitos, um
capitulo sobre a Teoria Clássica de Nós, que é o nosso objetivo maior, um capitulo
que chamei "Outras Teorias de Nós"onde abordaremos intuitiva e superficialmente
alguns casos mais gerais desta teoria e um ultimo capítulo "O Espaço Projetivo RP 2
não mergulha emR 3 ".

Capítulo 2
Pré-requisitos
2.1 Álgebra
Espero que os leitores tenham um conhecimento básico de Teoria de Grupos, Anéis,
Corpos e Módulos, que são normalmente apresentados nos cursos de graduação em
Matemática. Existem três tópicos de Algebra que são muito usados nas Topologias
Algébrica e Geométrica (da qual faz parte a Teoria de Nós), que são Algebra
Homológica, Grupos Livres e Anéis de Grupos e que em geral não são abordados
nos cursos de graduação. Não vou me aventurar em resumir Algebra Homológica
aqui mas vou tentar resumir os outros dois tópicos, Grupos Livres e Anéis de Grupos.
Sugiro que os interessados procurem na bibliografia e deem uma boa olhada nos três
tópicos que são muito importantes para a formação geral de um matemático.
2.1.1 O básico de Categorias e Funtores
Uma linguagem que facilita muito a apresentação de muitas partes da matemática
é a linguagem de categorias e funtores, portanto aqui vai um resumo deste assunto que
espero facilite a apresentação do curso.
Definição 2.1 Uma categoria C é constituída de uma classe de objetos A, B, C... e de uma
família de conjuntos disjuntos hom(A, B) que pode ser indexada por C ×C, isto é, para cada
par (A, B) de elementos de C ×C um conjunto hom(A, B), satisfazendo as condições:
(i) Para cada terna de objetos A, B, C, existe uma função c, que associa cada elemento de
hom(A, B)×hom(B, C) um elemento de hom(A, C).
(ii) Existe uma função "1", de C na reunião dos conjuntos disjuntos
A hom(A, A) que
associa a cada A de C um elemento ”1A” da reunião com ”1A” ∈ hom(A, A).
Além disso devemos ter satisfeitas as duas exigências abaixo para as funções consideradas:
i. Associatividade da função c (denominada composição), isto é, seja α ∈ hom(A, B),
β ∈ hom(B, C) e γ ∈ hom(C, D), então, c(c(α, β), γ) = c(α, c(B, γ))
ii. Identidade das funções ”1”, isto é, se α ∈ hom(A, B) então c(α, ”1B”) = α = c(”1A”, α)
Escreveremos por simplicidade:
5

6 Capítulo 2: Pré-requisitos
(a) α : A → B para α ∈ hom(A, B); α será denominado "morfismo deC"com "domínio A"
e "contradomínio B".
(b) c(α, β) será indicado β◦α que pelas condições apresentadas só terá sentido se o domínio
de β for o contradomínio de α.
(c) É claro que a tripla composição γ ◦ β ◦ α tem significado quando os domínios e
contradomínios forem compatíveis.
Um elemento θ ∈ hom(A, B) será chamado uma equivalência em C se existir
ψ ∈ hom(B, A) tal que ψ◦θ = 1 A e θ ◦ ψ = 1B (É claro que neste caso, ψ também
será uma equivalência).
Se um elemento θ ∈ hom(A, B) é uma equivalência, então o elemento ψ tal que
ψ◦θ = 1 A e θ◦ ψ = 1B é único.
Vejamos: seja ¯ψ outro elemento de hom(B, A) | ¯ψ◦θ = 1 A e θ ◦ ¯ψ = 1B, então
teremos ψ = 1A◦ ψ = ¯ψ◦θ◦ ψ = ¯ψ◦1B = ¯ψ
O elemento ψ nas condições acima, fica bem definido pela θ (quando existir) e será
denominado inverso de θ sendo indicado θ −1 .
Exemplos de Categorias:
1. A classe constituída de um único grupo G, isto é, a categoria terá apenas um
elemento; hom(G, G) será considerado como sendo o próprio G.
A aplicação c será definida por c(a, b) = a•b onde • é a operação existente em
G. A aplicação "1"será a aplicação que à g ∈ G associa o elemento neutro. É fácil
verificar as condições.
2. R M constituída de todos os módulos a esquerda de um anel R. Os objetos
são os R-módulos, isto é, A, B, C... são os R-módulos. hom(A, B) será o
conjunto HomR(A, B) de todos os homomorfismos de R-módulos de A em B.
A composição (c) é a usual. É fácil verificar as condições.
3. A classe de todos os conjuntos tomando como morfismos as funções entre os
conjuntos.
4. A classe de todos os grupos tomando-se como morfismos os homomorfismos
entre elas.
5. A classe dos grupos abelianos também como morfismos os homomorfismos.
6. A classe dos espaços topológicos com os morfismos as aplicações contínuas entre
eles.
Dadas duas categorias C e D um Funtor Covariante T está definido de C para D
quando tivermos:
(a) A cada objeto A de C fica associado um único objeto T(A) de D.
(b) A cada morfismo α de C fica associado um único morfismo T(α) de D, onde estas
associações respeitam as condições:

2.2: Topologia Algébrica 7
(1) T(1 A) = 1 T(A)
(2) Se α : A → B ∈ hom(A, B) então T(α) : T(A) → T(B)
(3) T(α◦β) = T(α)◦T(β)
Um Funtor Contravariante é definido da mesma forma, mas com as condições (1)
e:
(2’) Se α : A → B então T(α) : T(B) → T(A).
(3’) T(α◦β) = T(β)◦T(α).
Dados os funtores T : C → D e S : D → E definimos o funtor composto
T◦S : C → E por: (T◦ S)(A) = T(S(A)) e T◦S(α) = T(S(α))).
É fácil verificar que T ◦ S é um funtor da categoria C na categoria E e que o
composto de dois funtores é covariante se ambos forem covariantes ou ambos forem
contravariantes e o composto é contravariante se eles não forem ao mesmo tempo
covariantes ou contravariantes.
Exemplos de funtores:
1. πi é um funtor da categoria dos espaços topológicos pontuados na categoria dos
grupos.
2. Hq é um funtor da categoria dos pares de espaços topológicos na categoria dos
grupos abelianos.
2.1.2 O básico de Anéis de Grupos
Um bom texto em português para ver este assunto é o livro do Polcino [Polcino]
Fixemos um grupo G e um anel A com unidade.
Uma combinação linear formal, finita de elementos de G e A e é uma "soma"da
forma r = ∑g r(g).g onde g ∈ G e r(g) ∈ A é tal que apenas uma quantidade finita
dos r(g), g ∈ G é diferente de 0 ∈ A. O conjunto de todas estas somas formais vão
constituir um conjunto que chamaremos um anel de grupo e que denotaremos A[G].
Precisamos em A[G] de uma soma e de um produto.
A soma é dada por r1+ r2 = ∑g r1(g).g+∑g r2(g).g = ∑g(r1(g)+r2(g)).g
O produto é dado por r1· r2 = ∑g r3(g).g onde r3(g) = ∑g 1.g2=g r1(g1)·r2(g2)
É fácil verificar que com estas definições de soma e produto, A[G] se torna um anel,
chamado Anel de Grupo de G sobre A.
O exemplo que estaremos usando é Z[Z], isto é, o grupo G = Z e o anel A = Z,
neste caso o Anel de Grupo se identifica com o Anel dos polinômios nas variáveis t, t −1
sobre Z.
Como nem sempre os ingredientes envolvidos são comutativos, podemos ter anéis
bastante complicados neste familia de Anéis de Grupos.
2.2 Topologia Algébrica
Estamos supondo que o leitor esteja acostumado com as notações da Topologia
Geral ou de Espaços Métricos.

8 Capítulo 2: Pré-requisitos
2.2.1 O básico de Homotopia
Uma boa sugestão para leitura é o livro do Elon, [Elon1].
Nesta seção estamos trabalhando com a categoria dos espaços topológicos e
aplicações contínuas ou na correspondente categoria de pares.
Considere as aplicações f : Z → X e g : Z → X, dizemos que f e g são homotópicas
se existir aplicação, denominada homotopia, H : Z×[0, 1] → X tal que H(z, 0) = f(z)
e H(z, 1) = g(z), notação f H ∼ g, f ∼ g ou H : f ∼ g.
Muitas vezes, nesta situação dizemos que temos uma familia continua de aplicações
ht : Z → X com h0 = f e h1 = g.
Se A ⊂ Z temos a noção de homotopia relativa ao subconjunto A, neste caso pedese
que f |A = g |A e que H satisfaça a condição H(a, t) = f(a) = g(a), ∀ a ∈ A e
∀ t ∈ [0, 1].
Na categoria dos pares de espaços topológicos e aplicações contínuas de pares,
definimos (X, A)× I = (X×I, A× I) e temos a noção correspondente de homotopia.
Sejam f0, f1 : (X, A) → (Y, B) aplicações contínuas. Uma homotopia de pares
entre f0 e f1 é uma aplicação contínua de pares H : (X, A)× I → (Y, B) tal que
H(x, 0) = f0(x) e H(x, 1) = f1(x).
Observe que se H é uma homotopia entre aplicações de pares então H(A× I) ⊂ B.
Diz-se que (X, A) e (Y, B) tem o mesmo tipo de homotopia de pares se existem
aplicações contínuas ϕ : (X, A) −→ (Y, B) e ψ : (Y, B) −→ (X, A) tais que
ϕ◦ψ ∼ Id (Y,B) e ϕ◦ψ ∼ Id (X,A), (homotopia de pares). Nestas condições ϕ e ψ
são denominadas equivalências de homotopia, a versão não relativa é clara.
Se A = ∅ = B temos a versão usual de homotopia e se A = um ponto e B = um
ponto temos a homotopia pontuada.
Verifica-se facilmente que homotopia é uma relação de equivalência. Em qualquer
das situações acima, denotamos a classe de alguma f : Z → X por[ f] ainda denotamos
o conjunto das classes de homotopia por {Z,X}, embora em muitos livros a notação seja
[Z, X].
Seja h : X → Y, então para toda f : Z → X e familia contínua ft : Z → X podemos
então fazer as aplicações compostas h◦ f : Z → Y ou h◦ ft : Z → Y, vemos então que
h induz uma aplicação h∗ : {Z, X} → {Z, Y}, definida por h∗([ f]) = h◦ f .
Uma deformação de X é uma homotopia ft : X → X onde f0 = IdX e para todo t, ft
é um homeomorfismo.
Dado par (X, A) dizemos que uma homotopia ft : X → X é uma deformação de
X em A se f0 = IdX, f1(X) ⊂ A e ft | A = IdA ∀ t ∈ [0, 1]. Note que neste caso a

2.2: Topologia Algébrica 9
homotopia faz os pontos de X − A "fluírem"para dentro de A, enquanto os pontos de
A ficam "parados com o tempo t ∈ [0, 1]".
Vejam exemplos de deformações, muito interessantes, no capítulo 1 de [Prasolov].
Dado A um subespaço de X. Diz-se que A é um retrato de X se existe uma
aplicação contínua r : X → A tal que r(a) = a, ∀ a ∈ A, r é chamada uma retração de
X sobre A. Vê-se facilmente que A é um retrato de X se e somente se Id A : A → A
pode ser prolongada a uma aplicação contínua de X em A. Se iA : A → X é a
inclusão, e r : X → A uma retração, então temos r◦ i A = Id A
Exemplos
1. Seja Z = S 1 = X, Y = D 2 e fn : S 1 → S 1 dada por fn(e i.Θ ) = e i.n.Θ , n ∈ Z. Sabemos
que se m = n em Z então { fn} = { fm}, sabemos também que toda f : S 1 → S 1 é
homotópica a alguma das fn isto é temos um bijeção {S 1 , S 1 } ↔ Z. Por outro lado, á
fácil ver que todas as aplicações g : S 1 → D 2 são homotópicas entre si e homotópicas
a qualquer aplicação constante, isto é {S 1 , D 2 } é um conjunto unitário. Se denotamos
a inclusão i : S 1 ֒→ D 2 então i∗ é constante, isto é, duas aplicações quaisquer de S 1 em
S 1 quando consideradas como aplicação de S 1 em D 2 são sempre homotópicas.
2. Seja o par (X, A) = (D 2 ,[−1, 1]), então ht(x, y) = (x,(1−t)y) é deformação de D 2
em [−1, 1].
3. Seja o par (X, A) = (D 2 − {(0, 0)}, S 1 ), note que S 1 é o bordo de D 2 então
ht(x, y) = (1−t)(x, y)+t.{(x, y)/[(x 2 + y 2 )] 1/2 } é uma deformação de D 2 −{(0, 0)}
em S 1 .
Lema 2.1 Se existe uma deformação de X em A então para todo espaço topológico Z, temos que
i∗ : {Z, A} → {Z, X} é uma bijeção, onde i∗ é a induzida da inclusão i : A ֒→ X.
Prova: Seja ht : X → X uma deformação de X em A, vejamos que i∗ é sobrejetiva.
Seja [ f] ∈ {Z, X} então f : Z → X, consideremos então ht ◦ f que é uma homotopia
entre f e g = h1 ◦ f note que g(Z) ⊂ A logo g pode ser considerada como uma
aplicação de Z em A, isto é[g] ∈ {Z, A} e é claro que i∗[g] = [ f].
Vejamos agora que i∗ é injetiva. Sejam [ f0] e [ f1] em {Z, A} tal que i∗[ f0] = i∗[ f1]
Note que f0(Z) ⊂ A e f1(Z) ⊂ A, além disso existe homotopia entre f0 e f1 quando
tomadas com aplicações de Z em X, seja ft : Z → X esta homotopia. Temos que
h1◦ ft : Z → X também é uma homotopia, como f0(Z) ⊂ A segue também que∀z ∈ Z
temos h1( f0(z)) = f0(z) e da mesma forma ∀z ∈ Z temos h1( f1(z)) = f1(z) então
h1◦ ft é uma homotopia entre f0 e f1. Mas h1(Z) ⊂ A então h1◦ ft(Z) ⊂ A ∀t ∈ [0, 1]
logo h1◦ ft é uma homotopia em A entre f0 e f1, isto é [ f0] = [ f1] em {Z, A}, portanto
i∗ é injetiva.
Dizemos que um espaço topológico X é contraível se a aplicação identidade IdX :
X → X é homotópica à uma aplicação constante de X em X. Isto é equivalente a dizer
que X se deforma em algum de seus pontos.

10 Capítulo 2: Pré-requisitos
Consideremos agora o caso de "espaços topológicos pontuados" e "aplicações
(contínuas!) pontuadas", isto é estaremos considerando pares (Z, z0) onde Z é espaço
topológico e z0 ∈ Z um ponto base. As aplicações consideradas f : (Z, z0) → (Y, y0)
levam ponto base em ponto base. Nesta "categoria" uma homotopia H deve satisfazer
a condição H(z0, t) = y0 ∀t ∈ [0, 1]. As classes de homotopias são ditas com ponto
base (ou "baseadas"!). A notação, para diferenciar da não baseada é [(Z, z0),(Y, y0)]
mas se não há dúvidas sobre quem são os pontos bases, usamos a notação [X, Y]. A
notação para a classe de alguma f será a mesma que a não pontuada[ f] pois o contexto
em geral deixa claro em que categoria estamos. Existe uma aplicação (esquecimento)
entre [Z, Y] e {Z, Y}, que leva [ f] em [ f], sendo esta ultima a classe de homotopia
considerada sem ponto base. Esta aplicação em geral não é uma bijeção. Outro fator
importante a ser considerado é quando os espaços não são conexos por caminho. Neste
caso os conjuntos podem mudar muito se mudamos as escolhas dos pontos bases
em componentes conexas por caminho diferentes, por isto, estaremos considerando
em geral espaços conexos por caminho quando estivermos trabalhando na categoria
pontuada. Nestas condições, para uma boa quantidade de tipos de espaços topológicos
(conexos) a mudança do ponto base vem acompanhada com uma bijeção natural entre
o conjunto das classes correspondentes, por isso a notação simplificada não atrapalha.
Neste contexto temos deformações pontuadas e vale o lema abaixo.
Lema 2.2 Se existe uma deformação de X em A (ponto base em A) então i∗ : [Z, A] → [Z, X]
é uma bijeção onde i é a inclusão de A em X.
O Grupo Fundamental de um espaço topológico
Seja X um espaço topológico conexo por caminhos e p um ponto em X , temos então
o par (X, p), vamos definir o grupo fundamental deste espaço topológico pontuado,
que será denotado π1(X, p) ou mais abreviadamente π1(X).
Uma aplicação f : [0, 1] → X é um caminho em X ligando f(a) a f(b), se temos
outro caminho g tal que g(0) = f(1), podemos fazer a concatenação destes caminhos,
definindo um caminho ( f ⊙ g) : [0, 1] → X por ( f ⊙ g)(t) = f(2t) se 0 ≤ t ≤ 1/2 e
( f ⊙ g)(t) = g(2t−1) se 1/2 ≤ t ≤ 1, que percorrerá, no mesmo "tempo" [0, 1], os
dois caminhos dados na ordem pré estabelecida. Podemos também definir o caminho
inverso de f , isto é, ele percorre o mesmo caminho que faz f , porem no sentido
contrário, denotemos por f − este caminho que é definido por f − (t) = f(1−t), t ∈
[0, 1].
É fácil ver que a concatenação de caminhos não é associativa, isto é, ( f ⊙ g)⊙h é
em geral diferente de f ⊙(g⊙h).
Seja (S 1 , q) o circulo pontuado, conforme a conveniência da notação, o circulo
será visto como subespaço de R 2 ou dos complexos C ou como quociente de [0, 1]
ou [0, 2π] ou [a, b], pelos seus pontos extremos, neste caso o ponto base será o ponto
correspondente aos identificados.
Note que se X não for conexo por caminhos, o que estaremos fazendo nesta seção
é definir o grupo fundamental da componente conexa por caminhos do ponto base p,
por isso, desde o começo, tomamos por facilidade, X conexo por caminhos.

2.2: Topologia Algébrica 11
Dada aplicação de f : (S 1 , q) → (X, p) obtém-se de forma natural aplicação
correspondente f ′ : ([a, b],{a, b}) → (X, p) e vice-versa, além disso, f ∼ g se e somente
se f ′ ∼ g ′ .
Estas aplicações são chamadas laços em X com ponto base p.
Notemos que uma homotopia de laços, é uma homotopia fs tal que ∀s ∈ [0, 1] fs é
um laço em (X, p).
Como um laço é um caso especial de caminho, podemos fazer a concatenação
de laços. Como foi observado anteriormente, a concatenação de caminhos, ou
particularmente de laços, não é associativa porém se considerarmos as classes de
homotopia de laços vemos que os dois laços( f ⊙ g)⊙h e f ⊙(g⊙h) são homotópicos,
logo em [([0, 1],{0, 1}),(X, p)] , [( f ⊙ g)⊙h] e [ f ⊙(g ⊙ h)] são o mesmo elemento.
Temos portanto uma boa definição de um produto no conjunto [([0, 1],{0, 1}),(X, p)]
dado por[ f].[g] = [ f ⊙ g].
Definição 2.2 O grupo fundamental de X em p, denotado π1(X, p), é o conjunto das
classes de homotopia baseada de laços em X com ponto base p, ou seja, o conjunto
[([0, 1],{0, 1}),(X, p)] (ou [(S 1 , q),(X, p)]) com o produto [ f].[g] = [ f ⊙ g], elemento
inverso[ f] −1 = [ f − ] e elemento neutro dado pela classe do caminho constante em p.
A prova de que a operação acima é bem definida e que realmente dá ao conjunto
um estrutura de grupo, é extensa, omitiremos.
Definição 2.3 Homomorfismo induzido por aplicação contínua Dada uma aplicação F :
(X, x0) → (Y, y0), define-se um homomorfismo F∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0), por F∗([ f]) =
[F◦ f].
É fácil verificar que F∗ é um homomorfismo de grupos, que Id (X,x0)∗ = Id π1(X,x0)
e que (G ◦ F)∗ = G∗ ◦ F∗, em outras palavras se denotássemos F∗ por π1(F) então
π1 é um funtor covariante da categoria dos espaços topológicos baseados e aplicações
contínuas baseadas na categoria dos grupos e homomorfismos de grupos.
Não é difícil ver que no caso de o espaço ser conexo por caminhos e mudarmos
o ponto base, obtemos grupos fundamentais isomorfos, por isso às vezes omitimos o
ponto base.
Exemplos
1. É fácil mostrar que se X for convexo ou contraível então π1(X) = (0).
2. Seja (X, p) = (S 1 , 1) e usemos por conveniência o intervalo [0, 2π] como domínio
dos laços para π1(S 1 , 1). É possível provar que todo laço f : ([0, 2π],{0, 2π}) → (S 1 , 1)
é homotópico à um dos laços fn(θ) = e i.n.θ , n ∈ Z e que ( f i ⊙ f j) ∼ f i+j, concluímos
que π1(S 1 , 1) ≈ Z.
3. Sejam (X, p) e (Y, q) espaços topológicos pontuados, é fácil verificar que π1(X ×
Y,(p, q)) ≈ π1(X, p)× π1(Y, q).

12 Capítulo 2: Pré-requisitos
Para a demonstração do proximo teorema, veja por exemplo [Armstrong] pagina
138.
Teorema 2.1 (Teorema de Seifert-van Kampen)
Sejam X = A∪B espaços topológicos, i : A ֒→ X e j : B ֒→ X as inclusões, onde A, B e
A∩Bsão subespaços conexos de X e considere o ponto base destes espaços x0 ∈ A∩ B.
Suponha que os grupos fundamentais de A, B e A ∩ B sejam dados pelas apresentações:
π1(A, x0) =< a1, a2, .... | r1, r2, ..... >, π1(B, x0) =< b1, b2, .... | s1, s2, ..... >
e π1(A∩B, x0) =< c1, c2, .... | t1, t2, ..... >, então:
π1(X, x0) =< a1, a2, ...., b1, b2, .... | r1, r2, ....., s1, s2, ....., i∗(c1) = j∗(c1), i∗(c2) =
j∗(c2), ... >.
A definição dos grupos de homotopia de dimensão maior cabe (sem as
demonstrações, é claro!) neste cantinho, vejamos:
πq(X, x0) é o conjunto das classes de homotopia relativa de aplicações de pares
f : (I q , ∂I q ) → (X, x0).
Dadas duas destas aplicações podemos concentrar cada uma delas em uma
"metade"do q-cubo I q , definindo assim, a soma de duas destas funções que, em nível
de homotopia, fica bem definida.
Desta forma o conjunto ganha uma operação tornando-se um grupo abeliano pois
em dimensão≥ 2 é possível concentrar um pouco mais as funções dentro dos q-cubos
e "rodar"os domínios destas funções concentradas, trocando-as de posição dentro do qcubo
inicial. O elemento neutro e os inversos são definidos de forma natural, trocandose
as orientações do cubo em que estão definidas.
Da mesma forma que no grupo fundamental, dada aplicação contínua F :
(X, x0) → (Y, y0) define-se F∗q : πq(X, x0) → πq(Y, y0) por F∗q([ f]) = [F ◦ f] e
verifica-se facilmente que F∗q é um homomorfismo, que se chamado π∗q(F), mostranos
que π∗q é um funtor covariante da categoria dos espaços topológicos pontuados
na categoria dos grupos abelianos.
2.2.2 O básico de Homologia
Uma boa sugestão para leitura é o novo livro do Elon, [Elon2].
Os axiomas de Eilenberg-Steenrod
A Teoria de Homologia é importante instrumento da Topologia Algébrica. É usada
em diversas outras áreas da matemática. Foi sistematizada através dos Axiomas de
Eilenberg-Steenrod o que facilita muito a sua utilização. Estaremos focalizando a
categoria dos pares de espaços topológicos e aplicações contínuas entre estes pares.
Consideramos a identificação X = (X, ∅), bem como as inclusões naturais derivadas
do par de espaços(X, A), que são:

2.2: Topologia Algébrica 13
(A, A)
ր ց
(∅, ∅) → (A, ∅) (X, A) → (X, X)
ց ր
(X, ∅)
São os seguintes os dados para uma teoria de homologia.
A cada par de espaços (X, A) e para cada inteiro q, pode-se associar, de maneira
bem definida, grupos abelianos Hq(X, A) e homomorfismos denominados operadores
bordo
∂q = ∂ (X,A,q) : Hq(X, A) → Hq−1(A),
Além disso, para toda f : (X, A) → (Y, B) e para todo q inteiro pode-se associar
homomorfismos de grupos:
ou, abreviadamente:
fq = (Hq( f)) : Hq(X, A) → Hq(Y, B),
f∗ : H∗(X, A) → H∗(Y, B) e ∂∗ : H∗(X, A) → H∗−1(A) e ∂∗ : H∗(Y, B) → H∗−1(B).
Para cada q, Hq é um funtor covariante.
Eilenberg e Steenrod deram, em 1945, uma descrição axiomática da Teoria da
Homologia Relativa, estabelecendo os seguintes axiomas.
Axioma 2.1 (Identidade) Se Id : (X, A) → (X, A) é a função identidade, então Idq :
Hq(X, A) → Hq(X, A) é a identidade de Hq(X, A) para todo inteiro q.
Axioma 2.2 (Composição) Se f : (X, A) → (Y, B) e g : (Y, B) → (Z, C) são aplicações de
pares, então (g◦ f)q = gq◦ fq para todo inteiro q.
Axioma 2.3 Se f : (X, A) → (Y, B) e f ′ : A → B é definida por restrição de f então, o
diagrama abaixo é comutativo para todo inteiro q.
Hq(X, A)
↓ fq
Hq(Y, B)
∂∗
−→ Hq−1(A)
↓ f ′ q−1
∂∗
−→ Hq−1(B)
Axioma 2.4 (Seqüência Exata) Para todo par (X, A) fica associada uma seqüência exata de
grupos, denominada seqüência de homologia do par(X, A);
... → Hq(A)
iq
−→ Hq(X)
jq
−→ Hq(X, A)
∂q
−→ Hq−1(A) i q−1
−→ Hq−1(X) → ...
Axioma 2.5 (Homotopia) Se as aplicações f e g : (X, A) → (Y, B) são homotópicas, então,
fq = gq para todo inteiro q.

14 Capítulo 2: Pré-requisitos
Axioma 2.6 (Excisão) Se U é um aberto de X tal que o fecho de U, esta contido no interior
de A, então, a aplicação inclusão e : (X − U, A − U) → (X, A) induz isomorfismos
eq : Hq(X − U, A− U) ≈
−→ Hq(X, A), para todo inteiro q.
Axioma 2.7 (Coeficiente) Se P é um espaço topológico unitário, então, Hq(P) = 0 se q = 0.
Se P é espaço topológico unitário e fixamos H0(P) = G então G é chamado grupo dos
coeficientes da teoria de homologia em questão.
Daremos adiante um pouco do que é preciso para se construir uma teoria de homologia
na qual fixaremos Z como grupo dos coeficientes (pode ser qualquer anel comutativo
com unidade).
Alguns Resultados que se obtém diretamente dos axiomas
Proposição 2.1 Os grupos de homologia são invariantes do tipo de homotopia, isto é, se
f : (X, A) → (Y, B) é uma equivalência de homotopia, então f∗ : H∗(X, A) ≈ → H∗(Y, B).
Demonstração: Sejam (X, A), (Y, B) pares de espaços que tem o mesmo tipo de
homotopia, isto é, existem f : (X, A) → (Y, B) e g : (Y, B) → (X, A) tal que ( f ◦ g) e
(g◦ f) são homotópicas a identidade.
Então, os axiomas 2 e 5 fornecem: (g◦ f)∗ = g∗ ◦ f∗ = Id e ( f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗ = Id ,
logo f∗ : H∗(X, A) ≈ → H∗(Y, B) e g∗ : H∗(Y, B) ≈ → H∗(X, A), são isomorfismos.
Como já vimos As aplicações f e g acima denominam-se equivalências de homotopia
e os pares de espaços são chamados equivalentes homotópicos.
Proposição 2.2 Para todo espaço topológico X temos H∗(X, X) = 0.
Demonstração: Pelo axioma 4 temos a seqüência exata de homologia do par(X, X):
... → Hq(X) iq
→ Hq(X) jq
→ Hq(X, X) ∂q
→ Hq−1(X) i q−1
→ Hq−1(X) → ...
Logo, para todo q, iq é o isomorfismo identidade e, portanto, ker iq = 0 e Im iq =
Hq(X).
Como a seqüência é exata, temos que ker jq = Im iq = Hq(X).
Temos então que Im jq = 0 (*).
Como Im ∂q = ker iq−1 = 0 temos que ker ∂q = Hq(X, X) (**).
Mas, Im jq = ker ∂q logo (*) e (**) fornecem Hq(X, X) = 0 para todo inteiro q.
Proposição 2.3 Se A ⊂ X é um retrato de X, então, H∗(X) ≈ H∗(A)⊕ H∗(X, A).
Demonstração: Como A i
−→ X r
−→ A, é tal que, r ◦ i = Id A e, portanto, rq ◦ iq =
id. Temos que iq é injetora e rq é sobrejetora. Consideremos a seqüência exata de
homologia do par(X, A): ... → Hq+1(X, A) ∂q+1 iq
−→ Hq(A) −→ Hq(X) → ...
Como i∗ é injetora, ∂∗ = 0. Obtemos então uma família de seqüências exatas curtas:
0 → Hq(A)
iq
jq
−→ Hq(X) −→ Hq(X, A) → 0.

2.3: O básico de Topologia Diferencial 15
Consideremos a aplicação contínua π = i◦r : X → X.
Verifica-se que πq = iq ◦ rq : Hq(X) → Hq(X) é um projetor do grupo abeliano Hq(X),
isto é:
πq◦ πq = (iq◦ rq)◦(iq◦ rq) = iq◦(rq◦ iq)◦rq = iq◦ rq = πq, logo Hq(X) ≈ Imπq⊕ kerπq
Como rq é sobrejetora e iq é injetora, vem que Imπq = Imiq = iq(Hq(A)) ≈ Hq(A).
Então, Hq(X) ∼ = iq(Hq(A))⊕ ker πq e, portanto, ker πq ≈ Hq(X)/iq(Hq(A)).
Das seqüências exatas curtas acima decorre que Hq(X)/iq(Hq(A)) ∼ = Hq(X, A) e daí
Hq(X) ≈ iq(Hq(A))⊕Hq(X, A) ≈ Hq(A)⊕ Hq(X, A) para todo inteiro q.
Observação Seja {x0} sub espaço constituído de um único ponto de X, {x0} ⊂ X,
então:
Hq(X) ≈ Hq({x0})⊕ Hq(X,{x0}) logo,
Hq(X) ≈ Hq(X,{x0}) para todo q = 0 e H0(X) ≈ Z⊕H0(X,{x0})
2.3 O básico de Topologia Diferencial
Acredito que todos saibam o que é uma curva ou uma superfície, no plano ou no
espaço, como dar uma parametrização, achar vetor tangente ou plano tangente, etc.
Curvas, surgem por exemplo como gráfico de aplicações deRemResuperfícies como
gráficos de aplicações deR 2 emR. Se estas aplicações são contínuas, diferenciáveis de
várias ordens, etc., as respectivas curvas e superfícies terão propriedades específicas.
Considerando estes objetos, mergulhados nos respectivos ambientes R 2 ou R 3
eles herdam destes espaços uma topologia, até mesmo uma métrica. Se os objetos
forem dados por aplicações diferenciáveis eles também herdam uma "estrutura
diferenciável"do ambiente, isto é, se temos dois destes objetos podemos falar de
aplicações diferenciáveis entre eles. Se os objetos tem apenas uma estrutura topológica
então temos que nos restringir a aplicações contínuas entres eles, ou seja, utilizamos a
categoria que seja possível em cada caso.
Objetos de maiores dimensões surgem naturalmente, porem temos mais
dificuldades de "visualizá-los". Utilizamos para isso nosso treinamento e nossa
confiança em manipular dados algébricos e analíticos para se ter uma visão geométrica
"multidimensional"destes objetos. Muitas vezes utilizamos visões projetadas em
espaços de dimensões menores, dos objetos em estudo, como fazemos com o estudo
da Geometria Espacial através da Geometria Descritiva.
Gráficos de funções de R k em R são objetos de dimensão k em R k+1 . Podemos
também parametrizar objetos de dimensão k em algum R k+i , i ≥ 2, etc. Se algum
destes objetos tem a propriedade de que todos os seus pontos possuem vizinhanças
homeomorfas (difeomorfas) a um R n , com n fixo, dizemos que este objeto é uma
variedade de dimensão n. As curvas são variedades de dimensão 1, as superfícies
são variedades de dimensão 2, etc.
Quando selecionamos as variedades que possuem estrutura diferenciável e
portanto podemos falar das aplicações entre elas que são diferenciáveis, estamos
falando da categoria que normalmente é chamada categoria das variedades
diferenciáveis, abreviadamente DIFF.

16 Capítulo 2: Pré-requisitos
É importante salientar que é possível descrever esta categoria sem fazer nenhuma
alusão aos mergulhos destes objetos no R n . Quando adotamos esta forma fica claro
que podemos falar em variedades de classe C k , quando as variedades possuem
parametrizações de classe C k e as aplicações entre elas também são de classe C k .
Outra categoria importante são as variedades topológicas, classe C 0 , com as
aplicações contínuas entre elas.
Quando estamos trabalhando com objetos que podem ser triangularizáveis, isto é,
podemos achar um poliedro homeomorfo ao dito objeto, e consideramos as aplicações
(contínuas) entre estes objetos que correspondem a aplicações lineares afins entre os
poliedros correspondentes, dizemos que estamos na categoria PL.
Todas são sub categorias da categoria dos espaços topológicos e aplicações
contínuas (TOP).
Definição 2.4 Uma variedade de dimensão n, W n é um espaço topológico que pode se coberto
por imagens bijetivas de aplicações contínuas (cartas ou parametrizações) x : U → W n onde
U é um aberto de R n , x(U) é aberto de W n e cada x : U → x(U) é um homeomorfismo.
Se para duas quaisquer cartas, x1 e x2 cujas imagens se interceptam, tivermos que a aplicação
composta (mudanças de coordenadas!) x −1
2 ◦ x1 : x −1
1 (U1 ∩ U2) → x2(U1 ∩ U2) for PL
ou diferenciável (digamos de classe C k ), dizemos que W n é uma variedade de classe C k , se as
mudanças de coordenadas só forem PL ou contínuas dizemos que W n é uma variedade PL ou
topológica.
Como vimos antes, muitas vezes já supomos que o espaço W n , ao qual se quer dar
uma estrutura de variedade, já se situa em algum R N e as cartas são parametrizações
que generalizam os conceitos clássicos de curvas e superfícies parametrizadas. Esta
forma de definir variedades é mais prática e é aceitável já que existem teoremas que
provam que, uma grande parte das variedades no sentido geral da definição acima,
sempre mergulha de forma adequada em algumR N com N não tão grande.
Uma aplicação entre duas variedades N n e M m é dita PL ou diferenciável de
classe C k , se quando escrita em coordenadas (compondo com cartas locais no domínio
e no contra-domínio) forem PL ou de classe C k como aplicações entre os abertos
correspondentes de R n e R m . Se k = 0 dizemos que a aplicação é continua e o
caso C 0 coresponde à categoria topológica.
Exemplos de Variedades:
1. R n ou qualquer de seus abertos são variedades de dimensão n.
2. S n = {(x1, x2, .., xn+1) ∈ R n+1 com (x1, x2, .., xn+1) = 1} a esfera unitária de R n+1
é uma variedade de dimensão n.
3. O produto cartesiano de duas variedades é uma variedade.
Uma variedade com bordo se define como acima só que pedimos que os domínios
U são abertos de H n = {(x1, x2, .., xn) ∈ R n , com xn ≥ 0}. Observe então que podemos
ter pontos de dois tipos, um tipo onde sua vizinhança são os abertos U que se situam

2.3: O básico de Topologia Diferencial 17
em {(x1, x2, .., xn) ∈ R n , com xn > 0} que são abertos usuais de R n e outros pontos
cuja vizinhança tem a forma de H n , estes serão os pontos do bordo da variedade
considerada.
Exemplos de Variedades com bordo:
1. H n é uma variedade com bordo, seu bordo é ∂H n = {(x1, x2, .., xn) ∈ R n , com xn =
0} = R n−1 e o seu interior é int(H n ) = {(x1, x2, .., xn) ∈ R n , com xn > 0}.
2. D n = {(x1, x2, .., xn) ∈ R n com (x1, x2, .., xn) ≤ 1} o disco unitário de R n é uma
variedade com bordo, seu bordo é a esfera S n−1 . O interior de D n é uma variedade
aberta. Usa-se a terminologia variedade fechada para uma variedade compacta e sem
bordo, como S n .
3. I n = [0, 1] n o n-cubo de R n é uma variedade com bordo de dimensão n, seu bordo
é homeomorfa à esfera S n−1 , um caso particular é I = [0, 1] o intervalo da reta que é
uma variedade de dimensão 1 e seu bordo é {0, 1} (compare com o exemplo anterior).
Exercício: Encontre todas as variedades conexas de dimensão 1, com ou sem bordo, a
menos de homeomorfismo.
Uma superfície bastante popular, a faixa de Möbius, é obtida do quadrado I 2 =
{(x, y) ∈ R 2 tal que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1} identificando-se os pontos do
segmento à esquerda(0, y) ∈ I 2 com os pontos correspondentes aos segmento à direita
(1, 1− y) ∈ I 2 , onde 0 ≤ y ≤ 1. Vamos denotar a Faixa de Möbius porM 2 . Note que o
seu interior, isto é M 2 menos o seu bordo ∂M 2 (que é homeomorfo à um circulo S 1 !)(é
também chamada faixa de Möbius). M 2 é o protótipo da superfície não orientável, isto
é, ela só tem um lado!!
Qualquer superfície será dita não orientável se contiver uma sub-superfície
homeomorfa aM 2 , caso contrario será dita orientável.
Podemos criar um protótipo para uma variedade não orientada de dimensão n,
basta considerar o n-cubo I n = {(x1, x2, ....., xn) onde 0 ≤ x i ≤ 1 ∀ i = 1, 2, ..., n}
e identificar os pontos do (n-1)-cubo "à esquerda"{(0, x2, x3..., xn) ∈ I n onde 0 ≤
x i ≤ 1 ∀i = 2, ..., n} com os pontos correspondentes ao (n-1)-cubo "à direita"
{(0, 1− x2, x3..., xn) ∈ I n , onde 0 ≤ x i ≤ 1 ∀i = 2, ..., n}, assim obtemos a variedade
compacta com bordo que denotaremosM n .
Uma variedade de dimensão n será não orientável se contiver uma sub-variedade
de dimensão n homeomorfa aM n , caso contrário será dita orientável.
Para uma variedade orientável é possível escolher duas orientações, quando feita
esta escolha dizemos que temos uma variedade orientada.
Construindo variedades

18 Capítulo 2: Pré-requisitos
Já observamos que o produto cartesiano de duas variedades é uma variedade.
Podemos construir com isso muitas variedades, usando algumas que já conhecemos.
Uma outra forma de construir variedades e tomar duas variedades com bordos
homeomorfos (difeomorfos) e colá-las através do bordo usando um homeomorfismo
(difeomorfismo).
Uma operação bastante importante na categoria das variedades é a soma conexa
de duas variedades.
Definição 2.5 Dadas duas variedades M1 e M2 de mesma dimensão n a soma conexa
M1♯M2 é definida da seguinte forma: escolha discos D n 1 ⊂ M1 e D n 2 ⊂ M2 remova os interiores
1 = ∂Dn 1 e Sn−1
2 = ∂Dn 2 ,
"colamos" estas esferas através de um homeomorfismo (ou um homeomorfismo PL se estamos
nesta categoria ou um difeomorfismo se as variedades forem diferenciáveis) ϕ : Sn 1 ֌ Sn 2
obtemos a soma conexa M1♯M2.
destes discos. Nas variedades surgem as componentes de bordo S n−1
Teorema 2.2 Classificação de Superfícies As superfícies, conexas, compactas e sem bordo
são classificadas, a menos de homeomorfismo, segundo a lista:
1. Orientáveis: a esfera S2 , o toro T2 = (S1 × S1 ) e as somas conexas de toros, ♯ g
i=1 (T2 )
onde g = 1, 2, 3, .... é chamado genus da superfície orientável correspondente. Diz-se que S2 tem genus 0.
2. Não orientáveis: o espaço projetivo RRP 2 e somas conexas de espaços projetivos,
♯ g
i=1 (RRP2 ) onde g = 1, 2, 3, .... é chamado genus da superfície não orientável correspondente.
Detalhes e demonstrações podem ser vistas em [Moise] ou [Massey].
A classificação das superfícies compactas e conexas com bordo é feita da
seguinte forma: Verifique se as duas superfícies dadas tem a mesma quantidade de
componentes de bordo (que necessariamente são um número finito de círculos S 1 ), se
estas quantidades forem diferentes então as superfícies são diferentes, se forem iguais,
então cole um disco D 2 em cada componente de bordo de cada superfície, fazendo com
que as mesmas se tornem superfícies sem bordo. Use o teorema acima para verificar
se as duas superfícies, conexas, compactas e sem bordo obtidas são homeomorfas, se
forem, então as iniciais também serão.
As superfícies são espaços topológicos triangularizáveis, isto é, são homeomorfas
a poliedros montados (de forma regulamentada) com vértices, arestas e faces
triangulares. As superfícies compactas terão um número finito destes ingredientes.
Defini-se a Característica de Euler de uma superfície compacta M por χ(M) =
número de vértices - número de arestas + número de faces, obtidos de qualquer
triangulação de M. Prova-se que este número χ(M) não depende da triangulação (só
depende da classe de homeomorfismo da superfície), isto é, χ(M) é um invariante
topológico e é usado para distinguir as superfícies acima descritas.
É fácil obter o seguinte resultado:

2.3: O básico de Topologia Diferencial 19
Proposição 2.4 Se M é orientável então seu genus g = [2−χ(M)]/2 e se M é não orientável
então g = [2− χ(M)].
Definição 2.6 Dada variedades M m e N n , n ≤ m se diz que N n é sub-variedade de M m
se N n ⊂ M m e se for possível parametrizar os pontos de N n , vistos como pontos de M m , por
cartas x : R m → M m tal que x |R n: Rn → N n sejam cartas para N n .
Definição 2.7 Seja f : N n → M m uma aplicação contínua (PL, diferenciável, etc.) entre duas
variedades, isto é, um morfismo na categoria correspondente. Se f : N n → f(N n ) = imagem
de f em M m for um homeomorfismo (PL, difeomorfismo, etc.), então dizemos que f é um
mergulho de N n em M m .
Dizemos que N ⊂ M tem colarinho duplo se existe mergulho i : N×[−1, 1] ֒→ M
tal que i(x, 0) = x, ∀ x ∈ N, nesta situação N n é dita mansa em M m .
Definição 2.8 Seja N n uma subvariedade compacta topológica de uma variedade PL, M m .
Dizemos que N n é uma subvariedade mansa em M m se existir um homeomorfismo PL h :
M m ֌ M m tal que h(N n ) é uma subvariedade PL de M m .
A existência destes mergulhos e, caso existam, a sua classificação são objetivos de
estudo da Teoria de Mergulhos entre variedades, da qual a Teoria de Nós é um caso
particular.

20 Capítulo 2: Pré-requisitos

Capítulo 3
Teoria Clássica de Nós
3.1 Introdução
Sobre a Teoria Clássica dos Nós, temos, em português, o livro do Derek [Hacon].
apresentado no XV Colóquio Brasileiro de Matemática, que é muito gostoso de ler e
estudar, por isso sempre que possível estaremos fazendo referência a ele.
Estudamos neste capítulo a classificação de certos mergulhos do círculo S 1 (nós), ou
reunião disjunta de vários círculos (enlaçamentos) emR 3 ou S 3 . Não é preciso discutir
sobre a existência destes mergulhos pois existe pelo menos o mergulho padrão, dado
por S 1 = {(cos(θ), sen(θ), 0) ∈ R 3 , com θ ∈ [0, 2π)} ou se pretendemos ver o mergulho
como uma função, definimos f : S 1 ֒→ R 3 por f(θ) = (cos(θ), sen(θ), 0). Neste caso
estamos olhando S 1 com o intervalo[0, 2π] onde identificamos os seus extremos, outras
vezes olharemos S 1 como o circulo unitário nos complexos, isto é um ponto será da
forma e i.θ . Estaremos também olhando S 3 como a compactificação de R 3 e é fácil ver
que existe uma bijeção natural entre os mergulhos ("mansos") do círculo em S 3 e emR 3 ,
por isso, vamos abusar ainda mais da notação, usaremos algumas vezes a notação M 3
para designar indistintamente S 3 ou R 3 . Gostaríamos de dizer também que estamos
trabalhando na categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas mas temos
um problema sério aí, a existência de nós selvagens. Vejam abaixo um exemplar desta
espécie não tão rara!!.
Figura 3.1: Nó Selvagem
Se voce gosta de emoção forte e esta interessado em nós selvagens veja [Milnor] e
[Brode].
21

22 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
Aqui estamos interessados em nós e enlaçamentos mansos ("não selvagens"), que
incluem os diferenciáveis, os diferenciáveis por partes, os lineares por partes (PL), os
de colarinho duplo, etc. Estaremos portanto nos restringindo à nós e enlaçamentos
nestas categorias.
Em geral os nós e enlaçamentos são colocados em classes de equivalência e se
estuda estas classes. Quando nada se explicitar, estaremos considerando a relação de
equivalência dada por isotopia ambiental, isto é:
Definição 3.1 Sejam i0, i1 : S 1 ֒→ M 3 dois nós, dizemos que i0 é ambientalmente isotópico a
i1, se existe uma PL-deformação (isotopia que se inicia na identidade), H : M 3 × I → M 3 × I,
dada por H(y, t) = (ht(y), t), onde h0 = id M 3 e i1 = h1◦ i0.
A definição desta equivalência para enlaçamentos é similar à acima, por isso não a
apresentamos.
Intuitivamente o que a isotopia ambiental faz é criar um movimento no ambiente
(M 3 ) de tal forma que o primeiro nó "K0 = i0(S 1 )" se desloca continuamente
conforme passa o tempo t ∈ [0, 1] até que no final do movimento (t = 1) se situa
exatamente em K1 = i1(S 1 ). Usamos a notação K0 ∼ K1 para indicar que os nós
são equivalentes e K0 ≁ K1 caso contrário. Note que se i k for definida a menos de
homeomorfismo definido no domínio (neste caso S 1 ) é porque estamos interpretando
os nós essencialmente como suas imagens K0 e K1, e neste caso, a notação acima é bem
mais significativa.
Nós e enlaçamentos mansos são aqueles que são isotópicos a nós e enlaçamentos
poligonais, isto é, aqueles que são constituídos por uma seqüencia de segmentos de
reta (PL). Daqui para frente nós e enlaçamentos serão sinônimos de nós e enlaçamentos
mansos. Quando não houver perigo de confusão identificamos um nó ou um
enlaçamentos com sua classe.
Quando fixamos orientação ao (s) círculo (s) e ou a M 3 e exigimos que a relação
de equivalência preserve as orientações estaremos falando de nós ou enlaçamentos
orientados. Em geral o contexto deixa claro o que se estuda.
Dado um nó ou enlaçamento poligonal emR 3 é sempre possível escolher um plano
de tal forma que a projeção do nó sobre este plano tenha características convenientes
quais sejam: ter no máximo pontos duplos e os pontos duplos só ocorrem nos interiores
dos segmentos que constituem o nó. Uma projeção desta forma é chamada projeção
regular do nó.
É claro que a projeção regular de um nó não determina sua classe mas se em cada
ponto duplo de uma destas projeções designarmos qual o segmento que esta "por
baixo", então a classe do nó fica determinada por esta projeção regular "qualificada".
Uma projeção regular qualificada de um nó é chamado um diagrama do nó e as vezes
apenas por projeção regular do nó. Note que em geral apresenta-se um desenho do
nó no plano onde o trecho que esta por baixo fica interrompido e o nó se apresenta
como uma seqüencia de segmentos de reta.
Dois diagramas de nós ou enlaçamentos são ditos equivalentes se um pode ser
transformado no outro por seqüencias de movimentos chamados de "Reidemeister"
que são seis e estão descritos abaixo (em cada desenho temos um movimento e seu
correspondente inverso).
Observe que nos desenhos deveríamos estar apresentando as projeções dos nós com
linhas poligonais, isto é, por segmentos de retas, no entanto, abusaremos novamente

3.1: Introdução 23
Figura 3.2: Movimentos de Reidemeister
da notação, apresentando os diagramas com seqüencia de arcos curvilíneos, pois
facilitam o desenho.
Definição 3.2 Um enlaçamento de duas componentes L = K1⊔ K2 é dito separável (splittable)
se cada K i esta dentro de uma bola D 3 i ⊂ R3 , i = 1, 2 com D 3 1 disjunta de D3 2 .
A generalização para enlaçamentos de mais componentes e de dimensões maiores
é obvia.
Definição 3.3 Dado um enlaçamento de duas componentes L = K1 ⊔ K2, dizemos que K1
é homotopicamente não enlaçada à K2 se o mergulho f : S 1 ֒→ R 3 − K2 que define K1 é
homotópica à uma aplicação constante emR 3 − K2.
Similarmente para K2 homotopicamente não enlaçada a K1.
A generalização para mais componentes e maiores dimensões é obvia.
Daqui para frente estaremos focalizando os nós mas a maioria dos argumentos vale
para enlaçamentos.
Existe um resultado muito importante que remete o estudo dos nós e enlaçamentos
clássicos ao estudo de seus diagramas. É um teorema cuja prova não será apresentada
aqui, para isso veja [Burde/Zieschang], pagina 9.
Teorema 3.1 Dois nós clássicos K e L são equivalentes por isotopia ambiental se e somente se
algum diagrama de K for equivalente (por movimentos de Reidemeister) a algum diagrama de
L.
Uma classificação dos nós por isotopia ambiental seria uma forma de discernir
exatamente cada uma das classes, listando-as. O que não temos. Veja na figura
3.3 alguns nós equivalentes (o que é fácil comprovar, nestes casos) e outros não
equivalentes o que já não é tão fácil comprovar, mesmo nestes casos.
Na figura 3.4 abaixo (que eu não me lembro de onde tirei!) vemos uma seqüencia
de movimentos de Reidemeister levando o nó Figura Oito na sua imagem refletida,
comprovando que este nó é aquiral.

24 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
Figura 3.3: Nós equivalentes e não equivalentes
Figura 3.4: O nó Figura 8 é aquiral
3.2 Número de enlaçamentos
Quando estudamos enlaçamentos é muito importante o conceito de número de
enlaçamento (linking number). Em [Rolfsen(1976)], pagina 132 podemos encontrar
oito formas diferentes de se definir o número de enlaçamentos entre dois nós disjuntos
(enlaçamento de duas componentes), vamos colocar aqui apenas três delas. Na figura
abaixo vemos o número de enlaçamento de alguns enlaçamentos.
Figura 3.5: Número de enlaçamento
Sejam C e D dois nós disjuntos e orientados emR 3 . Considere uma projeção regular
deste enlaçamento e os pontos de cruzamentos onde C atravessa por baixo de D. Se o

3.3: Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos 25
cruzamento se dá da direita para a esquerda do sentido da orientação de D, rotulamos
este cruzamento +1, caso contrário −1. O número de enlaçamento L(C, D) será a
soma destes rótulos. Similarmente se define L(D, C). Se temos um enlaçamento de
três (ou mais) componentes, C1, C2 e D todos orientados, considerando-se C1 + C2 o
enlaçamento de duas componentes correspondente, podemos definir da mesma forma
L(C1+ C2, D) e obtemos que L(C1 + C2, D) = L(C1, D)+ L(C2, D).
Uma outra forma de se definir o numero de enlaçamento é a seguinte: Sabemos que
H1(R 3 − D;Z) ≃ Z, gerado por δ e onde o isomorfismo é definido pelas orientações
de todos os espaços envolvidos. Como C é um ciclo orientado emR 3 − D temos que a
classe de C, [C] = n.δ, para algum inteiro n, definimos L(C, D) = n.
É possível provar que as definições são equivalentes. Além disso, se Ct e Dt é
familia de nós disjuntos em R 3 , para cada t ∈ [0, 1] então L(C0, D0) = L(C1, D1) e
que L(C, D) = L(D, C).
Esta definição se generaliza da seguinte forma:
Sejam X e Y subespaços topológicos disjuntos deR 3 e x ∈ H1(X;Z) e y ∈ H1(Y;Z).
Seja x representada por alguma curva C e y representada por alguma curva D,
definimos L : H1(X;Z) × H1(Y;Z) → Z por L(x, y) = L(C, D). É possível provar
que L é uma forma bilinear simétrica.
Existem versões em dimensões mais alta desta forma bilinear que mede se os
conjuntos X e Y estão enlaçados dentro de algum R n ou dentro de algum espaço Z
onde ambos estão mergulhados. Em particular podemos encontrar invariantes para o
mergulho de superfícies orientáveis em M 3 olhando para o mergulho e um transladado
dele numa direção normal. Veja mais detalhes em [Hacon] capitulo VI.
Uma terceira forma de se definir o número de enlaçamento entre C e D é considerar
uma superfície orientável W 2 tal que ∂W 2 = D (chamada superfície de Seifert para
D) e calcular o número de intersecção W 2 .C e colocar este número igual à L(C, D).
Este numero de intercessão é calculado da seguinte forma: Por uma homotopia faça
com que C e W 2 fiquem transversais, isto significa que teremos um número finito
de cruzamentos transversais entre C e W e estes pontos de cruzamento poderão
ser rotulados +1 se a orientação local de W seguida da orientação de C for igual a
orientação do ambiente e rotulado −1 caso contrário. Então, W 2 .C será a soma destes
rótulos.
3.3 Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos
Temos muitos mecanismos que conseguem diferenciar algumas e às vezes muitas
classes de nós mas ainda não todas. Estes mecanismos são chamados genericamente de
invariantes. São como o genus e a característica de Euler que usamos na classificação
de superfícies.
O que é um invariante no estudo dos nós?
Suponha que possamos associar a cada nó K um valor IK em algum conjunto de tal
forma que se K ∼ L então IK = IL, isto é, I (.) é constante nas classes de equivalências
(para alguma equivalência pré estabelecida). Então temos que se IJ = IN então J ≁ N
e neste caso a associação I distingue a classe de J e de N, usamos I para provar que
a classe do nó J, denotada [J] = [N], a classe do nó N. Então I (.) é um invariante útil
para distinguir estas classes.

26 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
Vamos ver agora alguns invariantes da teoria clássica de nós. Notemos que
alguns invariantes (nem todos) podem ser usados também para o caso da teoria
multidimensional de nós e alguns que podem ser usados também para o caso mais
geral que é o estudo da classificação de mergulhos de variedades em variedades.
Devido ao teorema 3.1 acima muitos invariantes dos nós clássicos são definidos em
função de seus diagramas.
Tricoloração
Seja o conjunto{a, b, c} de cores, vamos colorir o diagrama de um nó (este processo
pode ser pensado como uma função sobrejetiva do conjunto dos arcos do diagrama no
conjunto {a, b, c}.
Temos que respeitar as seguintes regras:
1. Cada arco do diagrama terá uma única cor.
2. Em cada cruzamento ou teremos uma única cor nos três arcos que ali chegam ou
teremos todas as três cores, uma em cada arco.
3. Não pode sobrar cor, isto é, todas têm que ser usadas.
A figura abaixo mostra que o processo de colorir um diagrama é compatível com os
movimentos de Reidemeister o que nos diz que se um diagrama qualquer de um nó for
colorizável então qualquer diagrama daquele nó será. Portanto dado um nó qualquer
ou ele é colorizável (se algum de seus diagramas for) ou não é (se algum, e portanto
todos os seus diagramas, não for).
Figura 3.6: Tricoloração é compatível com Movimentos de Reidemeister
Portanto a função que leva um nó no conjunto {colorizável, não colorizável} é um
invariante. Vejamos alguns casos.
a) O nó trivial não é colorizável (fácil de provar).
b) Qualquer dos nós trevos são colorizáveis, (fácil pois basta colorizá-los).
c) Tente colorizar o enlaçamento e o nó da figura 3.7 abaixo.
d) Será que o nó do ICMC-USP (923) é colorizável?
Este invariante mostra que os nós trevos não são triviais porém não consegue
mostrar que os nós trevos estão em classes de isotopia ambiental diferentes. Este

3.3: Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos 27
Figura 3.7: Será que este enlaçamento e este nó são colorizáveis?
invariant é muito ligado à existência de epimorfismos do grupo fundamental do nó
em grupos finitos. Este invariante pode ser refinado, por exemplo, no caso do nó ser
colorizável, então quantas colorizações ele tem? Temos também p-colorização para
p = 3. Para maiores detalhes sobre este invariante veja [Aneziris], paginas 37 e 61.
Número mínimo de cruzamentos nos diagramas
Dado um diagrama de um nó, é possível aumentar artificialmente o seu número
de cruzamentos, basta ver o primeiro movimento de Reidemeister. Isto significa que
o número de cruzamentos não é um invariante do nó (não é constante em todos os
representantes de sua classe), no entanto o número mínimo de cruzamentos é um
invariante.
È fácil ver que o nó trivial tem número de cruzamentos zero e que qualquer outro
nó tem numero de cruzamentos ≥ 3, logo é fácil de distinguir o nó trivial dos outros
nós. Na história dos nós vimos como foi difícil encontrar os nós diferentes com um
certo número de cruzamentos. Continua sendo difícil, embora tenhamos muitos outros
invariantes à disposição.
Número de desemaranhadamento
No dicionário, não encontrei a palavra desenodamento mas encontrei emaranhado
e desemaranhado, por isso usei estas palavras para criar des+emaranhado+mento!
Dado um diagrama de nó, temos um certo número de pontos duplos onde dizemos
que um dado arco passa acima de outro. Se trocamos esta condição, isto é, se
fizermos com que o arco que passava por cima fique por baixo, o novo nó estará
muito provavelmente em outra classe de equivalência. Um procedimento bastante
simples de escolha onde fazer a troca e onde não, nos leva ao nó trivial. Este
processo de trivialização exige portanto um certo número de trocas, menor que o
número de cruzamentos, é claro. Novamente este número pode variar muito com
os procedimentos mas o número mínimo de trocas para se chegar ao nó trivial é um
invariante do nó. É claro que para o nó trivial este numero é zero e para os nós trevos

28 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
este número é um. É fácil ver também que se o nó tem n cruzamentos então este
numero é ≤ (n− 1).
O Gênero
Dada uma superfície orientável com bordo dizemos que seu gênero é o gênero da
superfície sem bordo obtida dela colando-se um disco em cada componente de bordo.
É possível provar que todo nó é bordo de uma superfície orientável e conexa
mergulhada em M 3 . Este resultado pode ser provado usando um diagrama do nó.
Se o nó for o trivial é claro que um disco D 2 ⊂ M 3 borda o nó, mas para nós mais
complicados a superfície pode ter gênero muito grande. Novamente observamos que
dada uma destas superfícies é possível através de "somas conexas ambientais" com
"pequenos toros" aumentar o genus destas superfícies. Novamente o gênero mínimo
de tais superfícies é um invariante da classe de isotopia ambiental dos nós. O nó trivial
tem gênero zero, os nós trevos têm gênero um. Este invariante pode ser determinado
através do grupo do nó (definição abaixo), veja [Neuwirth].
O determinante
Este invariante tem este nome porque será o determinante de um sistema de
equações lineares, com coeficientes nos inteiros obtido de equações da forma r+s =
2w que surgem dos cruzamentos de um diagrama do nó. Os procedimentos são os
seguintes:
Considere um diagrama de um nó K, suponha que o mesmo tenha n cruzamentos:
1. Associe a cada arco uma variável, digamos, x1, x2, ...., xn.
2. Em cada cruzamento escreva uma equação da forma r+s = 2w substituindo w pela
variável associada ao arco que no cruzamento passa por cima e substituindo r e s pelas
outras variáveis dos arcos que no cruzamento passam por baixo. Com isto temos n
equações e n variáveis.
3. Coloque qualquer uma da variáveis= 0.
4. Descarte uma equação qualquer.
5. No sistema (n − 1) × (n − 1) obtido, calcule o módulo do determinante dos
coeficientes, este valor inteiro, chamado determinante do nó, será denotado D(K).
Prova-se que D(K) é um invariante de nós, veja [Hacon] para mais detalhes e vários
exemplos. Na figura 3.8 veja o calculo do determinante de três nós.
Vemos então que o nó trivial, o nó trevo e o nó K da figura são todos não
equivalentes. Veremos mais adiante que é possível obter este invariante de outro
invariante, o Polinômio de Alexander, que é portanto um invariante mais "poderoso"
que o determinante.
Observações 3.1 Observemos que os grupos de homologia do complementar dos nós e dos
enlaçamentos, H i(X;Z), não distinguem os nós ou os enlaçamentos,isto é, para cada i, estes
grupos são sempre os mesmos, pouco importa os nós ou os enlaçamentos que consideremos,
logo não servem com invariantes para diferenciar entre os nós ou entre os enlaçamentos, em
particular para qualquer nó H1(X;Z) ≃ Z veja [Hacon], pagina 75 para uma prova disto.
Esta observação vale para as dimensões mais altas também.

3.3: Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos 29
O grupo fundamental de um nó
Figura 3.8: Cálculo de determinantes de alguns nós
É fácil de provar que se dois nós K1 e K2 são equivalentes então seus complementos
M 3 − K1 e M 3 − K2 são homeomorfos, o que implica que qualquer invariante
topológico definido no complementar de um nó será um invariante das classes dos
nós. O grupo fundamental é um destes invariantes e é chamado grupo do nó.
É fácil ver que se o nó for trivial com complementar X então π1(X) ≈ Z. É
possível provar que vale também a recíproca, isto é, se temos um nó tal que o grupo
fundamental de seu complementar for isomorfo à Z, então o nó é trivial (isto é, esta
na classe do nó trivial). Na verdade o único grupo abeliano que surge como grupo de
nó é o grupo do nó trivial, que é Z, todos os outros não são abelianos.
O grupo do nó é de grande importância também porque dele são definidos
muitos outros invariantes, por exemplo pode-se definir através dele os Polinômios de
Alexander e o Determinante. O grupo do nó é portanto um invariante mais poderoso
que estes dois.
A tricoloração tem a ver com existência de homomorfismos sobrejetivos do grupo
do nó em certos grupos finitos.
O grupo do nó é também um invariante que se generaliza para dimensões mais
altas.
Existe um procedimento para encontrar uma apresentação do grupo fundamental
de um nó através de seus diagramas (apresentação de Wirtinger). Voce pode ver
com detalhes este procedimento em [Rolfsen(1976)], ag. 56. Abreviadamente, o
procedimento é o seguinte:
1. Escolha uma orientação para K.
2. Tome um diagrama de K e ordene os seus arcos (orientados), α1, α2, ...αn, usando a
orientação escolhida para K.
3. É fácil ver (demorado de formalizar!) que é possível modificar o nó por uma
isotopia ambiental de tal forma que todos os arcos fiquem em plano horizontal de
R 3 , digamos z = 1, além disso as passagens inferiores se deem dentro de pequenos

30 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
cilindros Ci, i = 1, 2, ..., n (com eixos verticais e disjuntos dois a dois) localizados na
região 0 ≤ z ≤ 1 e de tal forma que os eixos de cada cilindro passe pelo ponto de
cruzamento correspondente, Pi, veja figura 3.9 abaixo.
4. Escolha ponto base em p = (0, 0, 3) e para cada arco αi escolha laço simples xi
com ponto base p e enroscando-se ao arco αi de tal forma que para um observador
localizado bem no alto, digamos em (0, 0, 50), xi atravesse por baixo (uma única vez)
αi de tal forma que em projeção isto ocorra da direta para a esquerda da direção do
arco. A intenção é provar que as classes de homotopia de xi geram o grupo do nó K,
isto é, o grupo fundamental de X = R3− K.
5. Prolongue os cilindros Ci acima descritos para a região−1 ≤ z ≤ 0, chamando estes
novos cilindros por Ei, i = 1, 2, ..., n e ajuste também cada passagem inferior do nó, no
trecho entre αi e αi+1, de tal forma que o mesmo intercepte o disco D2 i , base do cilindro
Ci e tampa do cilindro Ei (e que esta contido no plano z = 0), em um segmento de reta,
também orientado, contido no interior daquele disco e que denotamos βi, veja figura
3.9 abaixo.
Figura 3.9: Ponto de cruzamento do diagrama do nó
6. Em cada ponto de cruzamento P i chamemos por α k o arco orientado que passa
superiormente ao arco β i. Existem duas possibilidades que são: Na projeção a
seqüencia αi, βi, αi+1 cruza (por baixo!) α k da esquerda para a direita ou da direita para
a esquerda, novamente de quem olha do ponto lá do alto. É fácil ver que no primeiro
caso vamos ter a relação x kx i = x i+1x k e no segundo caso a relação x ix k = x kx i+1 entre
os laços acima descritos. Denotemos por r i a relação que ocorrer no cruzamento i veja
figura 3.10, abaixo.
7. Denotemos por A = {(x, y, z) ∈ R 3 | z ≥ 0} − K, B i = E i − K, i = 1, 2, ..., n e

3.3: Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos 31
Figura 3.10: Relações possíveis em cada cruzamento
por F = fecho de (R3 − A)−(∪ n 1 Bi). Para cada i, escolhemos um caminho simples
σi, disjuntos entre si e disjuntos de K, ligando um ponto do conjunto D2 i − βi ao ponto
base p e para o conjunto F também escolhemos um caminho simples, σF, disjunto dos
σi’s e de K, ligando um ponto de seu bordo, com coordenada z = 0 e bem longe do nó
K, ao ponto base p. Definimos os conjuntos ¯B i = Bi ∪ σi e ¯F = F∪σF.
8. Decomponha agora X = R3− K nos conjuntos: A, ¯B i, i = 1, 2, ..., n e ¯F. Usando o fato
de que π1(A, p) é um grupo livre nos geradores xi, i = 1, 2, ..., n e que agregando à A os
conjuntos ¯B i, um de cada vez, obtemos pelo teorema de Seifert-van Kampen as relações
ri, i = 1, 2, ..., n, isto é, π1(A ∪(∪ j
1Bi), p) = |x1, x2, ..., xn : r1, r2, ..., rn|, e observando
que o espaço ¯F e seu bordo são simplesmente conexos, temos que ao agregarmos este
ultimo espaço a A ∪ (∪n 1 Bi), para obtermos o espaço X, o grupo fundamental não
muda, ficando portanto π1(X) = |x1, x2, ..., xn : r1, r2, ..., rn|.
9. É possível descartar uma das relações, digamos a ultima rn. O argumento é o
seguinte: Trabalhemos em S3 = R3 ∪ ∞, já que π1(X) ≃ π1(Y). Então ∞ deve
ser pensado como parte de todos os conjuntos não limitados usados anteriormente,
portanto ∞ deverá ser agregado à A, denotemos A ′ = A∪∞, ∞ deverá ser agregado ao
plano z = 0, transformando-o numa esfera S 2 e à ¯F, denotemos ¯F ′ = ¯F∪ ¯Bn∪ ∞. É claro
que A ′ ∪(∪ n−1
1 Bi)∪ ¯F ′ é uma decomposição de Y = S3− K e que π1(A ′ , p) = π(A, p)
e que juntando-se, como anteriormente, Bi, i = 1, 2, ....,(n − 1) obtemos o mesmo
resultado anterior, mas neste caso teremos no final ¯F ′ ∩(A ′ ∪(∪ n−1
1 Bi)) ≃ S2− βn que
é simplesmente conexo. Note que ¯F ′ também é simplesmente conexo, logo agregar
¯F ′ não muda o grupo fundamental que nesta decomposição é π1(Y) = |x1, x2, ..., xn :
r1, r2, ..., rn−1|, fica verificado que uma relação pode ser descartada.
O Polinômio de Alexander
O procedimento para se obter o polinômio de Alexander segue mais ou menos o
do determinante, é o seguinte:
1. Dado um diagrama para o nó K fixe uma orientação para K.
2. Associe a cada arco que forma o diagrama uma variável, digamos x1, x3, ....., xn,
onde n é o número de cruzamentos (e de arcos!) do diagrama, reserve (não use aqui!)
a variável t que será utilizada numa situação especial.
3. Associe à cada cruzamento uma equação da forma r−ts = (1−t)w ou (t− 1)w−

32 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
ts + r = 0 onde w deve ser identificado com a variável que passa superiormente
na região do cruzamento e deve ser orientada de acordo com a orientação dado ao
nó inicialmente, r e s serão substituídos pelas variáveis associadas aos arcos que se
aproximam do cruzamento inferiormente. Como escolher a posição de r e s na equação,
já que estas posições não são simétricas(r não tem coeficiente mas s tem coeficiente t);
a forma de decidir é usando a orientação fixada para o nó e em particular a orientação
no trecho do cruzamento, a escolha é assim: usando somente a orientação do trecho
superior do nó, no cruzamento, r da equação deve ser identificado com a variável
associada à esquerda de w e conseqüentemente s será identificado com a variável que
esta à direita de w.
4. Coloque agora alguma das variáveis igual à zero.
5. Descarte qualquer uma das equações.
6. Escreva o sistema (n − 1)×(n − 1) de equações acima com coeficientes no anel
Λ = Z[t, t −1 ].
7. Encontre o determinante δ(t) deste sistema. Será um elemento do anel Λ.
8. Multiplique δ(t) por ±t j (inversíveis em Λ!!), para obter △K(t) com △K(t) =
△K(t −1 ) e △K(1) = 1, este é o Polinômio de Alexander do nó K.
Veja um exemplo de cálculo do polinômio de Alexander na figura 3.11.
Figura 3.11: Calculo do Polinômio de Alexander do nó do ICMC-USP (923)
No livro do Derek [Hacon] voce encontrará muita coisa interessante sobre os
polinômios de Alexander. Em particular o calculo deste polinômio para os nós torais e
para os nós iterados. Voce também encontrará lá, como calcular o polinômio de Jones,

3.4: Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos 33
outro invariante polinomial muito importante.
Salientamos os seguintes resultados:
1. O polinômio de Alexander não depende da orientação escolhida para o nó.
2. O polinômio de Alexander de um nó K e de seu refletido (em algum espelho) ¯K é o
mesmo.
3. Todo polinômio △(t) ∈ Z[t, t −1 ] e satisfazendo as condições: △(t) = △(t −1 ) e
△(1) = 1 é o polinômio de Alexander de um nó (como temos uma grande quantidade
destes polinômios, teremos uma grande quantidade de nós não equivalentes!).
3.4 Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos
A primeira construção básica para se construir nós, a partir de outros nós Ki, i = 1, 2
em S3 , é a soma dos dois denotada K1♯K2. Vejamos a construção: considere os pares
(S3 , Ki), pontos Pi ∈ Ki e remova pequenas vizinhanças regulares destes pontos, que
são pares(B 3 i , B1 i ) não enodados. Os pares reminiscences de cada remoção são pares de
discos enodados(B 3 i , Ki) com bordos(S 2 i , S0 i ). Colamos B3 1 a B3 2 pelos bordos através de
um homeomorfismo de pares que inverte orientação ϕ : (S 2 1 , S0 1 ) → (S2 2 , S0 2
), obtendo
o par (S 3 , K1♯K2) onde K1♯K2 é chamado soma de K1 e K2. A figura 3.12 ilustra a
construção acima.
Figura 3.12: Soma de dois nós
A figura 3.13 mostra uma construção equivalente. Nesta figura colocamos os dois
nós dentro de S 3 , mas devemos considerar cada nó no interior de uma bola tal que os
seus interiores sejam disjuntos e que elas se tocam ao longo de um segmento de seus
bordos e é importante que a faixa (retângulo) que realiza a conexão dos dois nós cruze
as fronteiras das bolas ao longo deste segmento. Note que a construção não depende
dos pontos escolhidos para se colar a faixa em cada um dos nós, não depende também
se cada pedaço da faixa esta torcida ou enodada nos trechos em que adentram o interior
de cada bola.
Um nó é dito primo se não for a soma de dois outros nós não triviais.
Também podemos definir soma conexa de enlaçamentos e definir Enlaçamentos
Primos, veja [Kawauchi] capítulo 3.

34 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
Figura 3.13: Soma conexa (ambiental?)
Uma outra construção parecida com esta, porem, mais geral, é a soma ao longo de
uma faixa f , onde é permitido que a faixa se enlace com os nós (que estão em bolas
distintas de S 3 ) de forma arbitrária, veja figura 3.14. A notação neste caso é K♯ f L.
Figura 3.14: Soma conexa ao longo de faixa f
Na definição de K1♯K2 a soma é determinada apenas pelos dois nós, já K1♯ f K2 vai
depender também da faixa f .
Voce saberia dar condições sobre como a faixa f deve estar emR 3 −(K1∪ K2) para
que a segunda operação coincida com a primeira?
Temos o seguinte resultado:
O polinômio de Alexander da "soma" H♯K, é o produto dos polinômios de
Alexander da cada um deles, isto é △ K♯L(t) = △K(t).△L (t).
Outra forma de se construir nós é colocar um nó numa vizinhança tubular de outro
nó, neste processo obtemos nós chamados de nós satélites ou iterados.

3.4: Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos 35
Figura 3.15: Nó satélite ou iterado
Seja H um nó em S 3 sabemos que existem homeomorfismos ϕ : (S 1 × D 2 )0 → N(H)
onde(S 1 × D 2 )0 é o toro sólido mergulhado de forma trivial em S 3 e N(H) ⊂ S 3 é uma
vizinhança tubular fechada de H em S 3 , temos ainda que H = ϕ(S 1 ×{(0, 0)})
Seja L um nó contido no toro (S 1 × D 2 )0 e de tal forma que não exista nenhuma
bola B 3 tal que K ⊂ B 3 ⊂ (S 1 × D 2 )0.
A imagem de L pelo homeomorfismo ϕ será um novo nó, que depende de H de L
e do homeomorfismo ϕ, podemos denotar este novo nó por H∗ϕ L.
Podemos escolher um homeomorfismo especial ϕ0 que é aquele que manda o
sistema meridiano-longitude do toro sólido padrão no sistema meridiano-longitude
da vizinhança tubular N(H), neste caso a notação que podemos usar para o nó satélite
é H∗L.
Dizemos que H é um acompanhante (companion) do nó satélite H∗L.
Aqui também é possível tomar o segundo nó L e trocá-lo por um Enlaçamento,
obtemos um enlaçamento satélite K ∗ L que tem o nó H como acompanhante. Veja
mais detalhes em [Kawauchi], capitulo 3.
Caso o segundo nó L se situe no bordo de (S 1 × D 2 )0, isto é se for um nó toral do
tipo (p,q) então H∗Léchamado um nó cabo, mais especificamente um nó cabo-(p,q).
Veja a notação nó toral-(p,q) na seção 4.2 onde temos a classificação dos nós no toro.
Temos o seguinte resultado: O polinômio de Alexander do iterado de H∗ K, é dado
por△H∗K(t) = △H(t q ).△K (t)
Temos uma descrição dos Polinômios de Alexander usando espaço de recobrimento
e o Teorema de Mayer-Vietoris. Esta forma de definir este invariante permite a sua
generalização para nós de dimensões mais altas. Em [Rolfsen(1976)], capitulo 7 e
em [Hacon], capitulo 6 temos ótimas apresentações desta forma de se calcular ente
invariante.

36 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós

Capítulo 4
Outras Teorias de Nós
4.1 Teoria Multidimensional de Nós
Nesta seção vamos mostrar um pouquinho do problema de existência e
classificação dos mergulhos das esferas S n , n ≥ 2 nas esferas S m com m > n,
usualmente chamada Teoria Multidimensional de Nós.
Como no caso clássico às vezes é conveniente ver as esferas como compactificação
dos espaços euclidianos correspondentes. É claro também que é desnecessário se
preocupar com a existência pois nestes casos temos mergulhos padrões, a questão
que se coloca então neste caso é verificar se é possível criar mergulhos que não sejam
equivalentes ao padrão e classificá-los.
Como no caso clássico nos mantemos estudando os mergulhos mansos, por
exemplo os que possuem colarinho duplo, os que são ambientalmente PL-isotópicos
a PL-mergulhos, isto é, damos às esferas triangulações e pedimos que nas classes de
equivalência dos mergulhos tenhamos representantes lineares por parte. Recordemos
que N ⊂ M tem colarinho duplo se existe mergulho i : N × [−1, 1] ֒→ M tal que
i(x, 0) = x, ∀ x ∈ N
É bastante conhecido no caso de n = 2 e m = 3 o mergulho topológico de S 2
em R 3 conhecido como "Esfera com Chifres", onde um dos lados do mergulho não é
homeomorfo ao disco D 3 veja pg. 79 de [Rolfsen(1976)] e a figura 4.1.
Evitando estes mergulhos selvagens, temos em codimensão um o teorema de
Schönflies:
Teorema 4.1 (Teorema de Schönflies) Seja S n mergulhada em S n+1 , com colarinho duplo,
então o fecho de cada uma das componentes do complementar do mergulho é homeomorfo ao
disco D n+1 .
Note que os mergulhos diferenciáveis e os PL satisfazem as condições do teorema
acima.
Em codimensão (m−n) maior que dois, o complementar S m − S n é simplesmente
conexo e muitos dos invariantes, particularmente aqueles oriundos dos grupos dos nós
não existem. Na verdade neste caso se consideramos apenas aspectos topológicos dos
mergulhos mansos, temos que todos são equivalentes aos mergulhos triviais (padrões).
Não trivialidade surge apenas se considerarmos questões de diferenciabilidade, isto é,
se trabalharmos na categoria diferencial, alguns resultados sobre esta questão foram
estudados por Haefliger, veja [Haefliger].
37

38 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
Figura 4.1: Esfera com Chifres
Vejam as demonstrações dos teoremas a seguir em [Greenberg/Harper].
Teorema 4.2 (Da separação de Jordan-Brouwer) Se D r é um disco fechado de dimensão r
mergulhado na esfera S n onde r ≤ n então H0(S n − D r ;Z) ≃ Z e Hq(S n − D r ;Z) = 0 para
q ≥ 1.
Corolário 4.1 S n não pode ser desconectada pela remoção de um disco fechado D r .
Teorema 4.3 Seja S r mergulhada em S n , então r ≤ n e se r = n S r = S n , além disso, no caso
r < n temos que H0(S n − S r ;Z) ≃ Z ≃ Hn−r−1(S n − S r ;Z) e Hq(S n − S r ; Z) = 0 nos
outros casos.
Uma conclusão importante destes resultados é que os grupos de homologia do
complementar dos mergulhos não distinguem os enodamentos de esferas em esferas.
4.2 O caso especial de S 2 em S 4
Comecemos pelo caso de S 2 em R 4 ou S 4 que, como já observamos, são
essencialmente a mesma coisa.
Consideremos o conjunto {(x, y, z, 0) ∈ R 4 |x 2 + y 2 + z 2 = 1} este conjunto é
uma esfera que denotaremos S 2 0 . É a representante do nó padrão ou trivial em R4 .
Através da compactificação de R 4 podemos considerar S 2 0 ⊂ S4 . Poderíamos também
considerar {(x, y, z, 0, 0) ∈ S 4 ⊂ R 5 | x 2 + y 2 + z 2 = 1} e já teríamos S 2 0 ⊂ S4 .
É possível verificar que o complementar deste nó tem o tipo de homotopia de S 1 .
Logo o grupo (fundamental) deste nó éZ.
A questão que se coloca inicialmente é se existe nós (mergulhos de S 2 em R 4 ) não
triviais, por exemplo com grupos diferentes deZ. Vejamos uma construção que mostra
que para cada nó (manso) clássico K existe um nó S 2 K ⊂ R4 , o "rodado de K"(outra
notação é K ∗ ) cujo complemento tem grupo igual ao grupo de K. A construção é devida
à Emil Artin, veja [Artin(1926)] ou [Andrews/Curtis].

4.2: O caso especial de S 2 em S 4 39
Inicialmente decompomos R 4 =< e1, e2, e3, e4 > usando o plano P = R 2 3,4 =<
e3, e4 > como eixo de rotação, isto é, consideremos para cada θ ∈ [0, 2π) (ou (0, 2π]
conforme a conveniência) E(θ) = (cos(θ), sen(θ)) ∈ S 1 ⊂ R 2 1,2 =< e1, e2 > e o semi
3-espaço R 3 (θ) = {(ρcos(θ), ρsen(θ), c, d) ∈ R 4 , ρ ∈ [0, ∞), c, d ∈ R}. Em especial a
folha R 3 (0) é o semi 3-espaço onde vamos colocar o nó K para ser "rodado".
Figura 4.2: Rotação emR 4
Dado ponto (a, b, c, d) ∈ R 4 definimos como o seu rodado o conjunto
Rot((a, b, c, d)) = {(cos(θ)a − sen(θ)b, sen(θ)a + cos(θ)b, c, d) ∈ R 4 onde θ ∈ [0, 2π)}.
Observe que se a = 0 = b então o ponto (0, 0, c, d) pertence ao eixoP, seu rodado é ele
próprio, caso contrário, isto é a 2 + b 2 > 0 então o rodado do ponto será um círculo cujo
plano é ortogonal ao eixoP.
Denotemos i : R 3 (0) ֒→ R 4 a inclusão. Podemos definir uma aplicação contínua H :
R 4 → R 3 (0) por H((x, y, z, w)) = Rot((x, y, z, w)) ∩R 3 (0), note que H| R 3 (0) = Id R 3 (0) .
É fácil ver que H ◦ i = Id R 3 (0) . Chamemos Θ : S 1 → [0, 2π) (ou (0, 2π] conforme
a conveniência) a função inversa de E, dada acima, que é contínua em S 1 −{(1, 0)}.
Temos que Θ((cos(ϕ), sen(ϕ)) = ϕ.
Definamos, para uso posterior, a aplicação θ : R 4 − P → [0, 2π) (ou (0, 2π]
conforme a conveniência), por θ(x, y, z, w) = Θ(z/(z 2 + w 2 ) 1/2 , w/(z 2 + w 2 ) 1/2 ) e a
aplicação rotação de um ângulo θ em torno do eixo P por Rot θ P : R4 → R 4 , dada
por Rotθ P (a, b, c, d) = (a.cos(θ) − b.sen(θ), a.sen(θ) + b.cos(θ), c, d). Devemos notar que
tanto Rotθ P como a aplicação θ → Rotθ P são aplicações contínuas.
Seja K o nó (manso) dado inicialmente emR 3 , suponhamos que o mesmo seja dado
por uma seqüencia de segmentos de reta e que o espaço ambiente seja o R 3 1,3,4 =
R 3 < e1, e3, e4 >, isto é R 3 (0)∪R 3 (π). Através de translação e rotação (e talvez uma

40 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
pequena deformação) neste R3 podemos supor que o nosso nó K esteja totalmente
contido em R3 (0) e que apenas um de seus segmentos, que chamaremos β0, esteja no
eixo P. Denotemos β = K−interior de β0, isto é, β é a reunião de todos os outros
segmentos do nó, excluído (o interior de) β0, β é homeomorfo à um segmento e o nó
K = β ∪ β0. Usando-se o teorema de Seifert-van Kampen é possível mostrar que a
inclusão jK : R3 (0)−K → R3 1,3,4− K induz um isomorfismo nos grupos fundamentais
− K).
jK∗ : π1(R 3 (0)−K) → π1(R 3 1,3,4
Denotemos S2 K = Rot(β), e é fácil ver que S2 K ≃ S2 é uma 2-esfera mergulhada em
R4 .
Observemos que se tivéssemos colocado o nó K no interior de R3 (0) obteríamos
pela rotação um toro enodado emR 4 .
Estudemos o grupo do nó S2 K .
Temos a inclusão iK : R3 (0)−K ֒→ R4 −(S 2 K ∪ β0) e a retração HK : R4 −(S 2 K ∪
β0) → R3 (0)−K definidas por restrição de i e H, então HK ◦ iK = IdR3 (0)−K . Logo as
induzidas nos grupos fundamentais nos dá HK∗◦ iK∗ = Id π1(R 3 (0)−K)
o que nos permite
concluir que iK∗ é injetiva. Isto já seria suficiente para garantir que o mergulho não é
trivial.
Usando-se o Teorema de Seifert-van Kampen é possível mostrar que a inclusão
jS2 : R
K 4 − (S2 K ∪ β0) → R4 − S2 K induz um isomorfismo nos grupos fundamentais
jS2 K∗ : π1(R4 −(S 2 K ∪ β0)) → π1(R4 − S2 K ).
O próximo passo é provar que iK∗ : π1(R 3 (0) − K) → π1(R 4 − (S 2 K ∪ β0)) é
sobrejetiva. Para isto consideremos [s] ∈ π1(R 4 − (S 2 K ∪ β0)) onde s : [0, 1] →
R 4 −(S 2 K ∪ β0), s(0) = q = s(1), s constituído por uma seqüencia de segmentos de
retas s1.s2......sm com vértices q = q0, q1, ...., q j, ..., qm = q, onde q ∈ P − K ponto
base de todos os espaços envolvidos. Os segmentos que porventura cruzem R 3 (0)
são divididos inserindo-se na seqüencia de vertices de s estes pontos de intersecção.
Manteremos a notação supondo na notação inicial que nenhum dos segmentos cruzem
R 3 (0).
Para cada q j ∈ P− K, q j = q, escolha caminho v j em P− K ligando q j à q, para
os outros q k’s, isto é, para aqueles que estão em folhas (abertas) do tipo R 3 (θ k)−P,
escolhemos caminhos vk emR 3 (θk) ligando qk à q.
Substituímos s por s1.v1.v −1 −1 −1
1 .s2.v2.v2 .s3.v3.v3 ....sj.v j.v −1
j ....sm−1.vm−1.v −1
m−1 .sm que
é homotópico a s e que é constituídos por caminhos fechados com ponto base q que, ou
já estão emR3 (0)−K ou estão entre duas folhasR 3 (θr) e R3 (θs) com 0 ≤ θr ≤ θs ≤ 2π.
Mostremos que os caminhos que estão entre as duas folhas são homotópicos em
R4 − (S2 K ∪ β0) a caminhos em R3 (0) − K, mais precisamente, provemos que se λ é
um caminho fechado com ponto base q cuja imagem fica entre duas folhas R3 (θr) e
R3 (θs) com 0 ≤ θr ≤ θs < 2π ( ou 0 < θr ≤ θs ≤ 2π conforme a conveniência)
então λ ≃ HK ◦ λ, este ultimo caminho fechado esta em R3 (0)−K. É fácil ver que a
aplicação W : [0, 1]×[0, 1] → R4 −(S 2 K ∪ β0), dada por W(s, t) = Rot −t.θ(λ(s))
P (λ(s))
é uma homotopia entre λ e HK ◦ λ. A conclusão é que s pode ser escrito como uma
composição de outros caminhos, todos, na imagem de iK∗ e portanto [s] esta nesta
imagem, ou seja iK∗ é sobrejetiva e logo o grupo do nó S2 K em R4 é isomorfo ao grupo
do nó K emR 3 .
O processo acima, que chamaremos "rodar"(spinning) tem uma generalização que

4.3: O círculo no plano, na esfera, no espaço projetivo e no toro 41
chamaremos "torcendo ao rodar"(twist spinning) que é quase igual ao anterior, só que
escolhemos algum trecho pequeno do nó K contido no interior de R3 (0) e que ainda é
enodado, colocamos este trecho dentro de um pequeno cilindro[0, 1]× D2 de tal forma
que o nó cruze transversalmente o bordo do cilindro nos pontos (0,(0, 0)) e (1,(0, 0)),
veja figura 4.3. Agora, ao rodar o nó K, como no processo anterior, fazemos o pequeno
cilindro também rodar mas com velocidade um múltiplo (k) inteiro da velocidade
de rotação do processo anterior. O mergulho de S2 agora obtido depende como
anteriormente do nó K, mas também do inteiro k e do "sub-nó"S que escolhemos para
fazer o spinning. Note que temos então K = T♯S, para algum sub-nó complementar T
de S em K. Uma notação para este novo mergulho de S2 em R4 (S4 ) poderia ser algo
como S 2
(pode ser que já se tenha uma notação para isso, que desconheço!). Na
T♯S(k)
verdade se o nó K for a soma de vários outros nós poder-se-ia torcer cada uma das
várias componentes por um k diferente, teríamos algo como S2 T♯S1(k 1)♯S2(k2)♯.....♯Sq(kq) ,
onde K = T♯S1♯S2♯...Sq.
Figura 4.3: Torcendo ao rodar emR 4
Este mesmo processo pode ser feito para enlaçamentos de várias componentes
fazendo ou não com que alguma aresta de algumas das várias componentes estejam na
fronteira deR 3 (0). Os nós que estejam totalmente no interior deR 3 (0) se transformam
em toros S 1 × S 1 mergulhados de forma enodada emR 4 (S 4 ).
4.3 O círculo no plano, na esfera, no espaço projetivo e
no toro
Teorema 4.4 (Da curva de Jordan) Se L é uma curva simples e fechada (portanto
homeomorfa a S 1 ) em R 2 ou S 2 , então R 2 − L ou S 2 − L tem duas componentes e L é o bordo

42 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
de ambas.
Exercícios
Tente responder a questão acima no caso de:
1. L ser a reunião disjunta de 2 curvas simples.
2. L ser a reunião em um ponto de duas curvas simples (figura 8).
3. L ser a reunião disjunta de n curvas simples.
Teorema 4.5 (De Schönflies) Nas hipóteses do teorema anterior, uma das componentes de
R 2 − L ou as duas componentes de S 2 − L são homeomorfas ao disco D 2 .
Corolário 4.2 Quaisquer dois nós de S 1 em S 2 ou emR 2 são equivalentes por homeomorfismo
no contradomínio.
O corolário acima também é válido para a equivalência por isotopia ambiental. Veja
prova em [Rolfsen(1976)], pagina 11.
Exercícios
1. O que se pode dizer de enlaçamentos de vários círculos disjuntos em S 2 ou emR 2 .
2. O que se pode dizer da classificação de mergulhos da reunião em um ponto de dois
círculos (figura 8) em S 2 ou emR 2 .
Vamos apresentar de forma muito resumida o estudo dos mergulhos do círculo
S 1 no toro T 2 = S 1 × S 1 . Neste caso temos resultados completos e não triviais e a
referência é [Rolfsen(1976)]
O grupo fundamental do toro é abeliano logo isomorfo ao seu primeiro grupo
de homologia, isto é, π1(T 2 ) ≃ Z ⊕ Z ≃ H1(T 2 ;Z) e as classes de homotopia
representáveis por mergulhos são da forma (a, b) ∈ Z⊕Z tal que: ou a = 0 = b
ou m.d.c.(a,b)=1.
Um nó que borda um disco D 2 é chamado trivial ou não essencial, corresponde à
classe (0, 0) no grupo fundamental, caso contrário é chamado não trivial ou essencial.
Um nó correspondente à (±1, 0) é chamado nó longitudinal e um correspondente à
(0,±1) é chamado nó meridional.
É fácil ver que todos os nós triviais são equivalentes por isotopia ambiental (e como
conseqüência são equivalentes por homeomorfismo na imagem). É fácil também ver
nós meridionais e longitudinais são equivalentes por homeomorfismo na imagem.
A demonstração dos resultados abaixo podem ser vistos em [Rolfsen(1976)].
Proposição 4.1 Para todo nó K essencial em T 2 , isto é, [K] não correspondente à (0, 0) no
grupo fundamental, existe um homeomorfismo h : T 2 → T 2 tal que a imagem de K é um nó
meridional.
Observe que esta proposição nos diz que todo nó que não seja o trivial é equivalente
por um homeomorfismo em T 2 ao nó meridional, ou seja, temos o seguinte teorema de
classificação de nós no toro, por homeomorfismo na imagem:
Teorema 4.6 (Classificação dos nós no toro T 2 por homeomorfismo na imagem)
Existem apenas dois tipos de nós no toro por homeomorfismos na imagem, os equivalentes ao
trivial (não essenciais) e os equivalentes a um nó meridional (os essenciais).
A classificação por isotopia ambiental é dada por:

4.4: O Cilindro e a Faixa de Möbius emR 3 43
Teorema 4.7 (Classificação dos mergulhos de S 1 no toro T 2 por isotopia ambiental)
Dois nós, K e L no toro, são equivalentes por isotopia ambiental se e somente se[K] = ±[L] no
grupo fundamental.
4.4 O Cilindro e a Faixa de Möbius emR 3
Na figura 4.4 abaixo vemos um cilindro e uma faixa de Möbius mergulhadas emR 3 ,
acho que estes mergulhos podem ser considerados como os mergulhos "padrões"destes
espaços emR 3 .
Figura 4.4: Cilindro e Faixa de Möbius - I
Que tal estes outros mergulhos da figura 4.5. Se observarmos direito veremos que
temos ainda o cilindro e a faixa de Möbius, porem agora estão mergulhados de forma
diferente.
Figura 4.5: Cilindro e Faixa de Möbius - II
Qual é o numero de enlaçamento L(C1, C2) entre as duas componentes de bordo C1
e C2 do cilindro?
Qual é o número de enlaçamento L(C, M) entre o bordo da faixa de Möbius C e o
seu Meridiano M?
Será que podemos complicar ainda mais os mergulhos destes espaços? Vejamos a
proxima figura 4.6.
Novamente temos o cilindro e a faixa de Möbius mergulhados de forma que os seus
meridianos M coincidem com nós deR 3 .

44 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
Figura 4.6: Cilindro e Faixa de Möbius-III
Exercício 1 Será que todo mergulho destes espaços em R 3 são como acima? Como
provar ou reprovar esta afirmação?
Exercício 2 Como são os mergulhos do cilindro e da faixa de Möbius emR 4 ?
4.5 Mergulhos de Superfícies emR 3
Normalmente temos as superfícies, orientáveis, mergulhadas emR 3 como na figura
4.7 abaixo.
Observe que o "lado de dentro"das superfícies são discos com alças (handlebodies).
Mas que tal o mergulho do bi-toro em R 3 , mostrado na figura 4.8 abaixo. Este
mergulho é um exemplo de um mergulho no bi-toro, pensado em S 3 , em que, ambos
os "lados"em que o S 3 ficou dividido, não é um "handlebody"(como seria possível
provar isto?), o que mostra claramente que podemos ter muitas classes diferentes de
mergulhos das superfícies emR 3 ou em S 3 .
Quando a superfície tiver bordo, o seu bordo será um nó (caso tiver apenas uma
componente conexa) ou um enlaçamento (se o bordo tiver várias componentes).
Como no caso da teoria de nós, existem invariantes para detectar diferentes classes
de mergulhos de superfícies. Alguns destes invariantes já servem para detectar
diferenças entre os nós ou enlaçamentos que constituem o bordo destas superfícies,
caso sejam superfícies com bordo. Derek [Hacon] aborda esta questão no capítulo VI.
Considere um nó K em S 3 , é possível provar que sua vizinhança tubular fechada
é homeomorfa à S 1 × D 2 , isto é, existe mergulho K : S 1 × D 2 ֒→ S 3 , tal que
K(S 1 ×(0, 0)) = K. Se consideramos T 2 K = K(S1 × ∂(D 2 )) onde ∂(D 2 ) ≈ S 1 , obtemos
um mergulho do toro T 2 em S 3 . Se K é complicado o mergulho do toro correspondente

4.5: Mergulhos de Superfícies emR 3 45
Figura 4.7: Superficies emR 3
T 2 K é complicado porem uma das componentes em que S3 fica dividida pela imagem
de T 2 , é um toro sólido, isto é, é um espaço homeomorfo à S 1 × D 2 . Note que o outro
"lado"do mergulho é um espaço definido pelo nó clássico K, chamado exterior do nó K
e se este nó não for o trivial este espaço é muito diferente de S 1 × D 2 .
Uma questão então é: É possível mergulhar o toro em S 3 de tal forma que os dois
"lados"do mergulho sejam diferentes de S 1 × D 2 . A resposta é não e este é o resultado
do teorema abaixo, veja demonstração em [Rolfsen(1976)], pagina 107.
Teorema 4.8 (Teorema do toro de Alexander) Um toro T 2 mergulhado (PL) em S 3 divide
este espaço em duas partes sendo pelo menos uma delas homeomorfa ao toro sólido S 1 × D 2 .
Veja generalizações destes resultados em [Laércio/Saeki (2002)],
[Laércio/Saeki (2005)] e [Laércio/Oziride/Saeki], em particular vejam abaixo um
resultado de [Laércio/Saeki (2002)] muito interessante.
Teorema 4.9 Se p, q ≥ 1 e p+q = r com r ímpar, então existem para cada n, inteiro não
nulo, mergulhos distintos fn : S p × S q × S r ֒→ S p+q+r+1 tal que o fecho de nenhuma das
duas componentes de S p+q+r − imagem fn é homologicamente equivalente ao produto de duas
esferas e um disco.
Uma pergunta que se coloca imediatamente é se um bi-toro mergulhado em S 3
sempre bordará em pelo menos um dos lados o correspondente "handlebody". A
resposta é negativa, veja exemplo na figura 4.8 acima, onde ambos os lados do
mergulho em S 3 possui um pedaço homeomorfo ao complementar de um nó não
trivial.
Exercício: Calcular o grupo fundamental de cada um dos lados do mergulho da figura
4.8.

46 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
Figura 4.8: Bitoro em S 3

Capítulo 5
RP 2 não mergulha emR 3
Podemos encontrar provas deste fato usando Cohomologia e em particular
Dualidade de Alexander, vejam em [Greenberg/Harper] pg. 235 ou [Spanier] pg. 356.
Vejamos uma prova, dada por Hiroshi, veja [Maehara], mais elementar, que usa
apenas um resultado básico de Teoria de Grafos.
O resultado abaixo pode ser encontrado em [Conway/Gordon] ou em [Sachs].
Proposição 5.1 (Teorema do Enlaçamento) Todo mergulho do 6-grafo-completo, K6 emR 3
contem um par de ciclos disjuntos constituindo um enlaçamento não trivial.
Usando o resultado acima obtemos:
Lema 5.1 Para qualquer mergulho da Faixa de Möbius M 2 emR 3 o par (∂M 2 , C), onde ∂M 2
é o bordo da Faixa de Möbius e C é o seu meridiano, formam um enlaçamento não trivial.
Prova: Considere K6 na Faixa de Möbius M 2 como representado no retângulo abaixo,
onde cada par dos seis pontos P1, P2, P3, P4, P5, P6 são conectados por uma curva
simples em M 2 . Este grafo K6 contem exatamente dez pares de ciclos disjuntos, que
são:
a
b
c
P2
P1
P6
d ❍❍
b
❍
❍
❍
❍
e ❍
a
P3
P4
(P1P2P3, P4P5P6),(P1P2P4, P3P5P6),(P1P2P5, P3P4P6),(P1P2P6, P3P4P5),(P1P3P4, P2P5P6)
47
P5
e
d
c

48 Capítulo 5: RP 2 não mergulha emR 3
(P1P3P5, P2P4P6),(P1P3P6, P2P4P5),(P1P4P5, P2P3P6),(P1P4P6, P2P3P5),(P1P5P6, P2P3P4)
Cada um dos nove ciclos sublinhados borda uma 2-célula em M 2 disjunta do ciclo
correspondente no par, logo em qualquer mergulho deM 2 emR 3 , nove pares de ciclos
do K6 acima construído são enlaçamentos triviais. Pelo Teorema do Enlaçamento acima
concluímos que o par(P1P3P4, P2P5P6) tem que ser um enlaçamento não trivial.
Como o ciclo(P2P5P6) é o meridiano C deM 2 e o ciclo(P1P3P4) é o ∂M 2 o lema esta
demonstrado.
Teorema 5.1 O Espaço Projetivo 2-dimensionalRP 2 não mergulha emR 3 .
Prova: Suponha RP 2 mergulhado em R 3 . Removendo-se uma célula aberta D de
RP 2 obtemos um mergulho de M 2 em R 3 . Então o bordo de M 2 e o meridiano C de
M 2 formam um enlaçamento não trivial, isto é, C intercepta D, isto é, não tínhamos
inicialmente um mergulho, uma contradição.
Exercício: Prove que as outras superfícies sem bordo, não orientáveis, também não
mergulham emR 3 .

Referências Bibliográficas
[ ] Abaixo uma bibliografia longa (mas não muito!!). Se voce precisa uma bibliografia
mais completa consulte a bibliografia do [Kawauchi]
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