Teoria de Nós - ICMC - USP

30 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós
cilindros Ci, i = 1, 2, ..., n (com eixos verticais e disjuntos dois a dois) localizados na
região 0 ≤ z ≤ 1 e de tal forma que os eixos de cada cilindro passe pelo ponto de
cruzamento correspondente, Pi, veja figura 3.9 abaixo.
4. Escolha ponto base em p = (0, 0, 3) e para cada arco αi escolha laço simples xi
com ponto base p e enroscando-se ao arco αi de tal forma que para um observador
localizado bem no alto, digamos em (0, 0, 50), xi atravesse por baixo (uma única vez)
αi de tal forma que em projeção isto ocorra da direta para a esquerda da direção do
arco. A intenção é provar que as classes de homotopia de xi geram o grupo do nó K,
isto é, o grupo fundamental de X = R3− K.
5. Prolongue os cilindros Ci acima descritos para a região−1 ≤ z ≤ 0, chamando estes
novos cilindros por Ei, i = 1, 2, ..., n e ajuste também cada passagem inferior do nó, no
trecho entre αi e αi+1, de tal forma que o mesmo intercepte o disco D2 i , base do cilindro
Ci e tampa do cilindro Ei (e que esta contido no plano z = 0), em um segmento de reta,
também orientado, contido no interior daquele disco e que denotamos βi, veja figura
3.9 abaixo.
Figura 3.9: Ponto de cruzamento do diagrama do nó
6. Em cada ponto de cruzamento P i chamemos por α k o arco orientado que passa
superiormente ao arco β i. Existem duas possibilidades que são: Na projeção a
seqüencia αi, βi, αi+1 cruza (por baixo!) α k da esquerda para a direita ou da direita para
a esquerda, novamente de quem olha do ponto lá do alto. É fácil ver que no primeiro
caso vamos ter a relação x kx i = x i+1x k e no segundo caso a relação x ix k = x kx i+1 entre
os laços acima descritos. Denotemos por r i a relação que ocorrer no cruzamento i veja
figura 3.10, abaixo.
7. Denotemos por A = {(x, y, z) ∈ R 3 | z ≥ 0} − K, B i = E i − K, i = 1, 2, ..., n e