Teoria de Nós - ICMC - USP

38 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós
Figura 4.1: Esfera com Chifres
Vejam as demonstrações dos teoremas a seguir em [Greenberg/Harper].
Teorema 4.2 (Da separação de Jordan-Brouwer) Se D r é um disco fechado de dimensão r
mergulhado na esfera S n onde r ≤ n então H0(S n − D r ;Z) ≃ Z e Hq(S n − D r ;Z) = 0 para
q ≥ 1.
Corolário 4.1 S n não pode ser desconectada pela remoção de um disco fechado D r .
Teorema 4.3 Seja S r mergulhada em S n , então r ≤ n e se r = n S r = S n , além disso, no caso
r < n temos que H0(S n − S r ;Z) ≃ Z ≃ Hn−r−1(S n − S r ;Z) e Hq(S n − S r ; Z) = 0 nos
outros casos.
Uma conclusão importante destes resultados é que os grupos de homologia do
complementar dos mergulhos não distinguem os enodamentos de esferas em esferas.
4.2 O caso especial de S 2 em S 4
Comecemos pelo caso de S 2 em R 4 ou S 4 que, como já observamos, são
essencialmente a mesma coisa.
Consideremos o conjunto {(x, y, z, 0) ∈ R 4 |x 2 + y 2 + z 2 = 1} este conjunto é
uma esfera que denotaremos S 2 0 . É a representante do nó padrão ou trivial em R4 .
Através da compactificação de R 4 podemos considerar S 2 0 ⊂ S4 . Poderíamos também
considerar {(x, y, z, 0, 0) ∈ S 4 ⊂ R 5 | x 2 + y 2 + z 2 = 1} e já teríamos S 2 0 ⊂ S4 .
É possível verificar que o complementar deste nó tem o tipo de homotopia de S 1 .
Logo o grupo (fundamental) deste nó éZ.
A questão que se coloca inicialmente é se existe nós (mergulhos de S 2 em R 4 ) não
triviais, por exemplo com grupos diferentes deZ. Vejamos uma construção que mostra
que para cada nó (manso) clássico K existe um nó S 2 K ⊂ R4 , o "rodado de K"(outra
notação é K ∗ ) cujo complemento tem grupo igual ao grupo de K. A construção é devida
à Emil Artin, veja [Artin(1926)] ou [Andrews/Curtis].