Teoria de Nós - ICMC - USP

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4 Capítulo 1: História da Teoria de Nós um resultado sobre mergulhos de grafos emR 3 para provar que o espaço projetivo não mergulha emR 3 . (se der tempo!) Em outras áreas da matemática, questões semelhantes são estudadas, por exemplo os Teoremas de Sylow estudados em Teoria de Grupos estudam os "mergulhos"de certos sub-grupos mais simples (os p-grupos), em um grupo dado. Similarmente, uma parte da Teoria de Fibrados Vetoriais consiste em estudar se certos fibrados são sub-fibrados de outros fibrados de dimensão maior. Esperamos com isso que o participante possa ter uma boa idéia desta parte tão importante da matemática. Além deste primeiro capítulo histórico, teremos um capitulo de pré-requisitos, um capitulo sobre a Teoria Clássica de Nós, que é o nosso objetivo maior, um capitulo que chamei "Outras Teorias de Nós"onde abordaremos intuitiva e superficialmente alguns casos mais gerais desta teoria e um ultimo capítulo "O Espaço Projetivo RP 2 não mergulha emR 3 ".
Capítulo 2 Pré-requisitos 2.1 Álgebra Espero que os leitores tenham um conhecimento básico de Teoria de Grupos, Anéis, Corpos e Módulos, que são normalmente apresentados nos cursos de graduação em Matemática. Existem três tópicos de Algebra que são muito usados nas Topologias Algébrica e Geométrica (da qual faz parte a Teoria de Nós), que são Algebra Homológica, Grupos Livres e Anéis de Grupos e que em geral não são abordados nos cursos de graduação. Não vou me aventurar em resumir Algebra Homológica aqui mas vou tentar resumir os outros dois tópicos, Grupos Livres e Anéis de Grupos. Sugiro que os interessados procurem na bibliografia e deem uma boa olhada nos três tópicos que são muito importantes para a formação geral de um matemático. 2.1.1 O básico de Categorias e Funtores Uma linguagem que facilita muito a apresentação de muitas partes da matemática é a linguagem de categorias e funtores, portanto aqui vai um resumo deste assunto que espero facilite a apresentação do curso. Definição 2.1 Uma categoria C é constituída de uma classe de objetos A, B, C... e de uma família de conjuntos disjuntos hom(A, B) que pode ser indexada por C ×C, isto é, para cada par (A, B) de elementos de C ×C um conjunto hom(A, B), satisfazendo as condições: (i) Para cada terna de objetos A, B, C, existe uma função c, que associa cada elemento de hom(A, B)×hom(B, C) um elemento de hom(A, C). (ii) Existe uma função "1", de C na reunião dos conjuntos disjuntos A hom(A, A) que associa a cada A de C um elemento ”1A” da reunião com ”1A” ∈ hom(A, A). Além disso devemos ter satisfeitas as duas exigências abaixo para as funções consideradas: i. Associatividade da função c (denominada composição), isto é, seja α ∈ hom(A, B), β ∈ hom(B, C) e γ ∈ hom(C, D), então, c(c(α, β), γ) = c(α, c(B, γ)) ii. Identidade das funções ”1”, isto é, se α ∈ hom(A, B) então c(α, ”1B”) = α = c(”1A”, α) Escreveremos por simplicidade: 5
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