Teoria de Nós - ICMC - USP

8 Capítulo 2: Pré-requisitos
2.2.1 O básico de Homotopia
Uma boa sugestão para leitura é o livro do Elon, [Elon1].
Nesta seção estamos trabalhando com a categoria dos espaços topológicos e
aplicações contínuas ou na correspondente categoria de pares.
Considere as aplicações f : Z → X e g : Z → X, dizemos que f e g são homotópicas
se existir aplicação, denominada homotopia, H : Z×[0, 1] → X tal que H(z, 0) = f(z)
e H(z, 1) = g(z), notação f H ∼ g, f ∼ g ou H : f ∼ g.
Muitas vezes, nesta situação dizemos que temos uma familia continua de aplicações
ht : Z → X com h0 = f e h1 = g.
Se A ⊂ Z temos a noção de homotopia relativa ao subconjunto A, neste caso pedese
que f |A = g |A e que H satisfaça a condição H(a, t) = f(a) = g(a), ∀ a ∈ A e
∀ t ∈ [0, 1].
Na categoria dos pares de espaços topológicos e aplicações contínuas de pares,
definimos (X, A)× I = (X×I, A× I) e temos a noção correspondente de homotopia.
Sejam f0, f1 : (X, A) → (Y, B) aplicações contínuas. Uma homotopia de pares
entre f0 e f1 é uma aplicação contínua de pares H : (X, A)× I → (Y, B) tal que
H(x, 0) = f0(x) e H(x, 1) = f1(x).
Observe que se H é uma homotopia entre aplicações de pares então H(A× I) ⊂ B.
Diz-se que (X, A) e (Y, B) tem o mesmo tipo de homotopia de pares se existem
aplicações contínuas ϕ : (X, A) −→ (Y, B) e ψ : (Y, B) −→ (X, A) tais que
ϕ◦ψ ∼ Id (Y,B) e ϕ◦ψ ∼ Id (X,A), (homotopia de pares). Nestas condições ϕ e ψ
são denominadas equivalências de homotopia, a versão não relativa é clara.
Se A = ∅ = B temos a versão usual de homotopia e se A = um ponto e B = um
ponto temos a homotopia pontuada.
Verifica-se facilmente que homotopia é uma relação de equivalência. Em qualquer
das situações acima, denotamos a classe de alguma f : Z → X por[ f] ainda denotamos
o conjunto das classes de homotopia por {Z,X}, embora em muitos livros a notação seja
[Z, X].
Seja h : X → Y, então para toda f : Z → X e familia contínua ft : Z → X podemos
então fazer as aplicações compostas h◦ f : Z → Y ou h◦ ft : Z → Y, vemos então que
h induz uma aplicação h∗ : {Z, X} → {Z, Y}, definida por h∗([ f]) = h◦ f .
Uma deformação de X é uma homotopia ft : X → X onde f0 = IdX e para todo t, ft
é um homeomorfismo.
Dado par (X, A) dizemos que uma homotopia ft : X → X é uma deformação de
X em A se f0 = IdX, f1(X) ⊂ A e ft | A = IdA ∀ t ∈ [0, 1]. Note que neste caso a