Teoria de Nós - ICMC - USP

More documents

Recommendations

Info

24 Capítulo 3: Teoria Clássica de Nós Figura 3.3: Nós equivalentes e não equivalentes Figura 3.4: O nó Figura 8 é aquiral 3.2 Número de enlaçamentos Quando estudamos enlaçamentos é muito importante o conceito de número de enlaçamento (linking number). Em [Rolfsen(1976)], pagina 132 podemos encontrar oito formas diferentes de se definir o número de enlaçamentos entre dois nós disjuntos (enlaçamento de duas componentes), vamos colocar aqui apenas três delas. Na figura abaixo vemos o número de enlaçamento de alguns enlaçamentos. Figura 3.5: Número de enlaçamento Sejam C e D dois nós disjuntos e orientados emR 3 . Considere uma projeção regular deste enlaçamento e os pontos de cruzamentos onde C atravessa por baixo de D. Se o
3.3: Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos 25 cruzamento se dá da direita para a esquerda do sentido da orientação de D, rotulamos este cruzamento +1, caso contrário −1. O número de enlaçamento L(C, D) será a soma destes rótulos. Similarmente se define L(D, C). Se temos um enlaçamento de três (ou mais) componentes, C1, C2 e D todos orientados, considerando-se C1 + C2 o enlaçamento de duas componentes correspondente, podemos definir da mesma forma L(C1+ C2, D) e obtemos que L(C1 + C2, D) = L(C1, D)+ L(C2, D). Uma outra forma de se definir o numero de enlaçamento é a seguinte: Sabemos que H1(R 3 − D;Z) ≃ Z, gerado por δ e onde o isomorfismo é definido pelas orientações de todos os espaços envolvidos. Como C é um ciclo orientado emR 3 − D temos que a classe de C, [C] = n.δ, para algum inteiro n, definimos L(C, D) = n. É possível provar que as definições são equivalentes. Além disso, se Ct e Dt é familia de nós disjuntos em R 3 , para cada t ∈ [0, 1] então L(C0, D0) = L(C1, D1) e que L(C, D) = L(D, C). Esta definição se generaliza da seguinte forma: Sejam X e Y subespaços topológicos disjuntos deR 3 e x ∈ H1(X;Z) e y ∈ H1(Y;Z). Seja x representada por alguma curva C e y representada por alguma curva D, definimos L : H1(X;Z) × H1(Y;Z) → Z por L(x, y) = L(C, D). É possível provar que L é uma forma bilinear simétrica. Existem versões em dimensões mais alta desta forma bilinear que mede se os conjuntos X e Y estão enlaçados dentro de algum R n ou dentro de algum espaço Z onde ambos estão mergulhados. Em particular podemos encontrar invariantes para o mergulho de superfícies orientáveis em M 3 olhando para o mergulho e um transladado dele numa direção normal. Veja mais detalhes em [Hacon] capitulo VI. Uma terceira forma de se definir o número de enlaçamento entre C e D é considerar uma superfície orientável W 2 tal que ∂W 2 = D (chamada superfície de Seifert para D) e calcular o número de intersecção W 2 .C e colocar este número igual à L(C, D). Este numero de intercessão é calculado da seguinte forma: Por uma homotopia faça com que C e W 2 fiquem transversais, isto significa que teremos um número finito de cruzamentos transversais entre C e W e estes pontos de cruzamento poderão ser rotulados +1 se a orientação local de W seguida da orientação de C for igual a orientação do ambiente e rotulado −1 caso contrário. Então, W 2 .C será a soma destes rótulos. 3.3 Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos Temos muitos mecanismos que conseguem diferenciar algumas e às vezes muitas classes de nós mas ainda não todas. Estes mecanismos são chamados genericamente de invariantes. São como o genus e a característica de Euler que usamos na classificação de superfícies. O que é um invariante no estudo dos nós? Suponha que possamos associar a cada nó K um valor IK em algum conjunto de tal forma que se K ∼ L então IK = IL, isto é, I (.) é constante nas classes de equivalências (para alguma equivalência pré estabelecida). Então temos que se IJ = IN então J ≁ N e neste caso a associação I distingue a classe de J e de N, usamos I para provar que a classe do nó J, denotada [J] = [N], a classe do nó N. Então I (.) é um invariante útil para distinguir estas classes.
Page 1: Teoria de Nós Oziride Manzoli Neto
Page 5 and 6: Capítulo 1 História da Teoria de
Page 7 and 8: Na Teoria Clássica dos Nós e Enla
Page 9 and 10: Capítulo 2 Pré-requisitos 2.1 Ál
Page 11 and 12: 2.2: Topologia Algébrica 7 (1) T(1
Page 13 and 14: 2.2: Topologia Algébrica 9 homotop
Page 15 and 16: 2.2: Topologia Algébrica 11 Dada a
Page 17 and 18: 2.2: Topologia Algébrica 13 (A, A)
Page 19 and 20: 2.3: O básico de Topologia Diferen
Page 25 and 26: Capítulo 3 Teoria Clássica de Nó
Page 27: 3.1: Introdução 23 Figura 3.2: Mo
Page 31 and 32: 3.3: Alguns Invariantes de Nós e E
Page 37 and 38: 3.4: Construindo Nós e Enlaçament
Page 39 and 40: 3.4: Construindo Nós e Enlaçament
Page 41 and 42: Capítulo 4 Outras Teorias de Nós
Page 43 and 44: 4.2: O caso especial de S 2 em S 4
Page 45 and 46: 4.3: O círculo no plano, na esfera
Page 47 and 48: 4.4: O Cilindro e a Faixa de Möbiu
Page 49 and 50: 4.5: Mergulhos de Superfícies emR
Page 51 and 52: Capítulo 5 RP 2 não mergulha emR
Page 53 and 54: Referências Bibliográficas [ ] Ab
Page 55 and 56: Referências Bibliográficas 51 [Pe

Teoria de Nós - ICMC - USP

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?