Teoria de Nós - ICMC - USP

12 Capítulo 2: Pré-requisitos
Para a demonstração do proximo teorema, veja por exemplo [Armstrong] pagina
138.
Teorema 2.1 (Teorema de Seifert-van Kampen)
Sejam X = A∪B espaços topológicos, i : A ֒→ X e j : B ֒→ X as inclusões, onde A, B e
A∩Bsão subespaços conexos de X e considere o ponto base destes espaços x0 ∈ A∩ B.
Suponha que os grupos fundamentais de A, B e A ∩ B sejam dados pelas apresentações:
π1(A, x0) =< a1, a2, .... | r1, r2, ..... >, π1(B, x0) =< b1, b2, .... | s1, s2, ..... >
e π1(A∩B, x0) =< c1, c2, .... | t1, t2, ..... >, então:
π1(X, x0) =< a1, a2, ...., b1, b2, .... | r1, r2, ....., s1, s2, ....., i∗(c1) = j∗(c1), i∗(c2) =
j∗(c2), ... >.
A definição dos grupos de homotopia de dimensão maior cabe (sem as
demonstrações, é claro!) neste cantinho, vejamos:
πq(X, x0) é o conjunto das classes de homotopia relativa de aplicações de pares
f : (I q , ∂I q ) → (X, x0).
Dadas duas destas aplicações podemos concentrar cada uma delas em uma
"metade"do q-cubo I q , definindo assim, a soma de duas destas funções que, em nível
de homotopia, fica bem definida.
Desta forma o conjunto ganha uma operação tornando-se um grupo abeliano pois
em dimensão≥ 2 é possível concentrar um pouco mais as funções dentro dos q-cubos
e "rodar"os domínios destas funções concentradas, trocando-as de posição dentro do qcubo
inicial. O elemento neutro e os inversos são definidos de forma natural, trocandose
as orientações do cubo em que estão definidas.
Da mesma forma que no grupo fundamental, dada aplicação contínua F :
(X, x0) → (Y, y0) define-se F∗q : πq(X, x0) → πq(Y, y0) por F∗q([ f]) = [F ◦ f] e
verifica-se facilmente que F∗q é um homomorfismo, que se chamado π∗q(F), mostranos
que π∗q é um funtor covariante da categoria dos espaços topológicos pontuados
na categoria dos grupos abelianos.
2.2.2 O básico de Homologia
Uma boa sugestão para leitura é o novo livro do Elon, [Elon2].
Os axiomas de Eilenberg-Steenrod
A Teoria de Homologia é importante instrumento da Topologia Algébrica. É usada
em diversas outras áreas da matemática. Foi sistematizada através dos Axiomas de
Eilenberg-Steenrod o que facilita muito a sua utilização. Estaremos focalizando a
categoria dos pares de espaços topológicos e aplicações contínuas entre estes pares.
Consideramos a identificação X = (X, ∅), bem como as inclusões naturais derivadas
do par de espaços(X, A), que são: