Teoria de Nós - ICMC - USP

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44 Capítulo 4: Outras Teorias de Nós Figura 4.6: Cilindro e Faixa de Möbius-III Exercício 1 Será que todo mergulho destes espaços em R 3 são como acima? Como provar ou reprovar esta afirmação? Exercício 2 Como são os mergulhos do cilindro e da faixa de Möbius emR 4 ? 4.5 Mergulhos de Superfícies emR 3 Normalmente temos as superfícies, orientáveis, mergulhadas emR 3 como na figura 4.7 abaixo. Observe que o "lado de dentro"das superfícies são discos com alças (handlebodies). Mas que tal o mergulho do bi-toro em R 3 , mostrado na figura 4.8 abaixo. Este mergulho é um exemplo de um mergulho no bi-toro, pensado em S 3 , em que, ambos os "lados"em que o S 3 ficou dividido, não é um "handlebody"(como seria possível provar isto?), o que mostra claramente que podemos ter muitas classes diferentes de mergulhos das superfícies emR 3 ou em S 3 . Quando a superfície tiver bordo, o seu bordo será um nó (caso tiver apenas uma componente conexa) ou um enlaçamento (se o bordo tiver várias componentes). Como no caso da teoria de nós, existem invariantes para detectar diferentes classes de mergulhos de superfícies. Alguns destes invariantes já servem para detectar diferenças entre os nós ou enlaçamentos que constituem o bordo destas superfícies, caso sejam superfícies com bordo. Derek [Hacon] aborda esta questão no capítulo VI. Considere um nó K em S 3 , é possível provar que sua vizinhança tubular fechada é homeomorfa à S 1 × D 2 , isto é, existe mergulho K : S 1 × D 2 ֒→ S 3 , tal que K(S 1 ×(0, 0)) = K. Se consideramos T 2 K = K(S1 × ∂(D 2 )) onde ∂(D 2 ) ≈ S 1 , obtemos um mergulho do toro T 2 em S 3 . Se K é complicado o mergulho do toro correspondente
4.5: Mergulhos de Superfícies emR 3 45 Figura 4.7: Superficies emR 3 T 2 K é complicado porem uma das componentes em que S3 fica dividida pela imagem de T 2 , é um toro sólido, isto é, é um espaço homeomorfo à S 1 × D 2 . Note que o outro "lado"do mergulho é um espaço definido pelo nó clássico K, chamado exterior do nó K e se este nó não for o trivial este espaço é muito diferente de S 1 × D 2 . Uma questão então é: É possível mergulhar o toro em S 3 de tal forma que os dois "lados"do mergulho sejam diferentes de S 1 × D 2 . A resposta é não e este é o resultado do teorema abaixo, veja demonstração em [Rolfsen(1976)], pagina 107. Teorema 4.8 (Teorema do toro de Alexander) Um toro T 2 mergulhado (PL) em S 3 divide este espaço em duas partes sendo pelo menos uma delas homeomorfa ao toro sólido S 1 × D 2 . Veja generalizações destes resultados em [Laércio/Saeki (2002)], [Laércio/Saeki (2005)] e [Laércio/Oziride/Saeki], em particular vejam abaixo um resultado de [Laércio/Saeki (2002)] muito interessante. Teorema 4.9 Se p, q ≥ 1 e p+q = r com r ímpar, então existem para cada n, inteiro não nulo, mergulhos distintos fn : S p × S q × S r ֒→ S p+q+r+1 tal que o fecho de nenhuma das duas componentes de S p+q+r − imagem fn é homologicamente equivalente ao produto de duas esferas e um disco. Uma pergunta que se coloca imediatamente é se um bi-toro mergulhado em S 3 sempre bordará em pelo menos um dos lados o correspondente "handlebody". A resposta é negativa, veja exemplo na figura 4.8 acima, onde ambos os lados do mergulho em S 3 possui um pedaço homeomorfo ao complementar de um nó não trivial. Exercício: Calcular o grupo fundamental de cada um dos lados do mergulho da figura 4.8.
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