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46 Grelhas de Sudoku
conceito dos quadrados latinos. Então será legítimo perguntar se haverá alguma
vez falta de quadrados latinos e se, num futuro próximo, acabarão os problemas
de Sudoku.
A tabela seguinte mostra-nos como o número de quadrados latinos cresce de
forma impressionante com a ordem:
Ordem Número de Quadrados Latinos
1 1
2 2
3 12
4 576
5 161280
6 812851200
7 614794199004000
8 108776032459082956800
9 5524751496156892842531225600
10 9982437658213039871725064756920320000
Ainda que o número total de problemas de Sudoku seja mais pequeno, uma vez
que este apresenta a restrição do subquadrado 3 × 3, será ainda um número
muito elevado. A determinação do número exacto de grelhas de Sudoku passíveis
de formar suscitou o interesse de vários investigadores. Em particular,
Bertram Felgenhauer, da Universidade Técnica de Dresden, na Alemanha, e
Frazer Jarvis, da Universidade de Sheffield, na Inglaterra exploraram este problema
e estimaram o número de grelhas em 6670903752021072936960, sendo
este número posteriormente confirmado diversas vezes.
No trabalho Mathematics of Sudoku I [3] os investigadores relatam os passos
seguidos para chegar ao número de grelhas mencionado em cima e fazem, ainda,
referência a um argumento apresentado por Kevin Kilfoil, bem mais simples e
que dá um resultando bastante aproximado do descoberto pelos dois matemáticos.
Vamos, então, tentar explorar e compreender a abordagem efectuada por Kilfoil,
relatada no texto de Felgenhauer e Jarvis.
Este começa por fazer referência ao cálculo das grelhas que seria possível formar
se pensássemos apenas no facto de cada bloco ter de ser completo com os
algarismos de um a nove, ou seja, sem termos em consideração que estes algarismos
não podem aparecer mais do que uma vez em cada fila ou em cada coluna.
Sendo assim, é muito fácil descobrir quantas grelhas de Sudoku poderíamos fazer.
Basta pensarmos que:
1. Se cada um dos subquadrados 3 × 3 (ou região), da grelha de Sudoku, tem
de ser preenchido com os elementos de 1 a 9, então, existem 9 elementos
que podem agrupar-se de diversas formas nos nove quadrados. Para
calcularmos esse valor basta permutarmos esses nove elementos.
Jornal das Primeiras Matemáticas, Nö2, pp. 45–51