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50 Grelhas de Sudoku
grelha, tendo em conta, além do factor de cada região ter obrigatoriamente os
elementos de 1 a 9, que estes mesmos algarismos não podem aparecer mais do que
uma vez em cada linha da grelha de Sudoku, isto é, satisfazendo a propriedade
da linha é dada por:
k = 9481096396803
(9!) 9 .
Porém, nas grelhas de Sudoku não temos apenas que respeitar a não repetição de
elementos na região e linha mas, também nas colunas. Assim, o autor pede, em
seguida, para aceitarmos que a proporção acima será, também, a que respeita
a obrigatoriedade de os algarismos de 1 a 9 não poderem aparecer mais do
que uma vez em cada coluna. Uma grelha de sudoku será apenas uma das N
grelhas que satisfaz as duas propriedades (linhas e colunas). Assumindo, assim,
que estas não se relacionam, ou seja, que são independentes. Isto dar-nos-á a
seguinte proporção:
N × k 2 = 9481096396806
(9!) 9 ,
ou seja, o número de grelhas de Sudoku passíveis de formar seria, aproximadamente,
6, 657084614 × 10 21 .
A diferença entre o resultado obtido por Kilfoil e o resultado obtido por Felgenhauer
e Jarvis ronda os 0, 2%. Porém, esta previsão, apesar de muito próxima
da obtida por Felgenhauer e Jarvis, segundo estes dois matemáticos não poderá
ser considerada correcta uma vez que as probabilidades das linhas e das colunas
não são independentes como foi assumido.
Não iremos, no presente trabalho, debruçar-nos de modo exaustivo sobre o que
fizeram Felgenhauer e Jarvis, após terem determinado o número de possibilidades
de preencher as primeiras três linhas do Sudoku. Porém, vamos tentar, de
forma muito resumida, esclarecer o que foi feito pelos dois matemáticos para
chegarem ao número de grelhas possíveis.
Depois de encontradas todas as possibilidades de preencher B e C, o passo seguinte
foi o de perceber como é possível preencher a restante grelha de Sudoku,
para cada uma dessas possibilidades.
Como facilmente podemos compreender, considerar todas as 2612736 possibilidades
de preencher B e C seria um processo demasiado complexo e demorado.
Torna-se assim necessário encontrar uma forma de reduzir o número de possibilidades
a considerar. Os autores vão tentar identificar configurações de números,
nesses subquadrados, que dão exactamente o mesmo número de maneiras de
preencher uma grelha completa.
Os autores referem várias opções. Por exemplo:–se trocarmos B e C, cada forma
de preencher B-C para uma grelha completa dá-nos uma única forma de completar
C-B, basta trocar E, F e H, I. Além disso, é possível permutar A, B e
C da maneira que desejarmos.– é possível permutar as colunas dentro de cada
bloco de qualquer maneira que desejarmos, fazendo o mesmo para as colunas de
uma grelha completa. É até possível permutar as três filas de A, B e C.
Jornal das Primeiras Matemáticas, Nö2, pp. 45–51