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16 Figura 1 – Representação fractal de uma samambaia (feto) (a) e de uma grama (b). Fonte: Falconer (1990, p. 133). As artes representam outra aplicação dos fractais. Devido às complexas e intricadas imagens que podem gerar, estes objetos podem ser utilizados com propósito decorativo, uma vez que sejam escolhidas cores apropriadas. Mitchell (1999) afirma que a arte fractal é em muitos aspectos similar à fotografia, já que o uso das luzes, sombras e movimentos são elementos também considerados por um artista fractal. Ainda, caracteriza esta área como sendo uma subclasse das artes visuais em duas dimensões, visto que ambos segmentos compartilham de elementos como cores, composição, equilíbrio, entre outros, e afirma que o trabalho desempenhado pelo artista fractal requer esforço e inteligência para manipular adequadamente todos os elementos que compõem a imagem. Fractais também são utilizados na música. Aplicações nesta área são possíveis devido ao fato de que pode-se gerar padrões de sons a partir de estruturas geométricas. Brothers (2011) afirma que, assim como nas imagens, a música pode exibir uma grande variedade de comportamentos escalares, tendo identificado em suas pesquisas características como a autossimilaridade em relação à duração, altura, intervalo, tema e estrutura. Xiao (2005) aponta ainda aplicações em compressão e codificação de áudio, utilizando algoritmos similares aos de compressão fractal de imagens. O autor afirma (2005, p. 19) que “tecnicamente, a diferença é o modo de representar os blocos: um bloco de imagem é representado como uma matriz de pixels, enquanto um bloco de áudio é representado por
17 um vetor de valores de amostragem”. Ainda, afirma que as principais vantagens da codificação fractal são a simplicidade a habilidade de alcançar altas taxas de compressão. Entretanto, resultados satisfatórios nem sempre são atingidos, visto que a qualidade da compressão depende diretamente do número de padrões e autossimilaridades encontradas. Além disso, o processo de codificação pode consumir muito tempo devido à busca e comparação dos blocos. Muitas outras aplicações de modelos fractais são possíveis, sendo as citadas acima apenas exemplos para contextualizar a importância do estudo dessa área. Não é o foco deste trabalho detalhar todas estas aplicações. Os leitores podem referir a Frame, Mandelbrot e Neger (2011) para uma extensa lista de outras possíveis aplicações. Entretanto, pode-se perceber, através dos exemplos de aplicações citados, que os fractais são estudados em uma extensa gama de áreas da ciência e que, por isso, justifica-se pensar no custo computacional para a geração de tais representações. As próximas seções são destinadas a apresentar alguns tipos de fractais famosos na literatura. É possível agrupar estes objetos em classificações com base em alguns critérios como, por exemplo, o método para geração destes ou o nível de autossimilaridade à medida que se aumenta a escala. Um foco especial será dado aos fractais utilizados para o desenvolvimento deste trabalho: os conjuntos de Julia e o conjunto de Mandelbrot. Para que se possa conceituar estes conjuntos, faz-se necessário, antes, comentar a respeito de sistemas dinâmicos, a área da matemática que engloba tais conjuntos, e sobre iterações utilizando variáveis complexas. 1.2 SISTEMAS DINÂMICOS Os sistemas dinâmicos são definidos por Becker e Dörfler (1989) como sendo a área da matemática dedicada ao estudo de sistemas sujeitos a mudanças e cujo comportamento é ditado através de iterações. Estas iterações consistem em aplicar uma função matemática repetidas vezes sobre um conjunto de dados, utilizando o resultado da função anterior como valor de entrada para a atual. Os sistemas dinâmicos que nos cercam, como, por exemplo, o tempo, a economia global ou populações biológicas, são compostos de um número tão grande de parâmetros e mudam tão rapidamente que a tarefa de analisar seus comportamentos é extremamente difícil.
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