t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

1.5.INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 15O conjunto de todas as combinações possíveisdessas quatro cores (formando um litro) é omenor conjunto convexo em T que contém essasquatro cores, como ilustra a figura ao lado.Se Q é uma tal cor, entãoQ = x 1 Q (1) + x 2 Q (2) + x 3 Q (3) + x 4 Q (4) ,com x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1.RQ(1)B(2)QQ (4) QPor exemplo, suponha que a cor cinza, dada por Q = ( 1 3 , 1 3 , 1 3), esteja contida nesse menorconjunto convexo, e gostaríamos de determinar as quantidades x 1 , x 2 , x 3 e x 4 das cores Q (1) ,Q (2) , Q (3) e Q (4) que produzam 1 litro da cor cinza Q. Isso nos dá quatro equações linearesnas incógnitas x 1 , x 2 , x 3 e x 4 :q (1)R x 1 + q (2)R x 2 + q (3)R x 3 + q (4)R x 4 = 1 3q (1)G x 1 + q (2)G x 2 + q (3)G x 3 + q (4)G x 4 = 1 3q (1)B x 1 + q (2)B x 2 + q (3)B x 3 + q (4)B x 4 = 1 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 11.5 Interpolação polinomialImagine que queiramos passar um polinômio quadrático (isto é, uma parábola) pelos pontos(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) e (x 3 , y 3 ), desde que x 1 , x 2 e x 3 sejam todos diferentes entre si.(3)Gp(x)y 1yx32x 1x3y 2Um polinômio quadrático é escrito, na sua forma geral, comop(x) = ax 2 + bx + c .Como neste problema nosso objetivo é determinar o polinômio quadrático, as incógnitas sãoos três coeficientes a, b e c. Para encontrar as incógnitas dispomos de três equações, pois ográfico do polinômio deve passar pelos três pontos dados: p(x 1 ) = y 1 , p(x 2 ) = y 2 e p(x 3 ) = y 3 .Explicitando as equações, ficamos comax 2 1 + bx 1 + c = y 1ax 2 2 + bx 2 + c = y 2ax 2 3 + bx 3 + c = y 3