t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

Capítulo 2O Método de Escalonamento2.1 O métodoNesta Seção discutiremos um método de resolução de sistemas lineares, chamado Método doEscalonamento ou Método de Eliminação de Gauss. O método se baseia, em primeiro lugar,no fato de que um sistema triangularizado como abaixo tem fácil solução:a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1n x n = b 1a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2n x n = b 2a 33 x 3 + . . . + a 3n x n = b 3a nn x n.= b nNa verdade, é tanto necessário quanto suficiente que todos os coeficientes na diagonal sejamnão-nulos para que se explicite a solução de forma única (se um dos termos da diagonal fornulo então haverá variáveis livres e uma infinidade de soluções). A solução, nesse caso, seobtém a partir da última equação. Primeiro, isola-se x n :A penúltima equação éentãox n = 1a nnb n .a n−1,n−1 x n−1 + a n−1,n x n = b n−1 ,x n−1 =1a n−1,n−1(b n−1 − a n−1,n x n ) .Como x n já foi determinado, da equação acima determina-se também x n−1 . E assim pordiante, até se conseguir o valor de x 1 .Um sistema triangularizado torna-se então o objetivo do método. Para ser mais preciso,pretende-se obter um sistema linear triangularizado equivalente ao original.Aqui entenderemos que dois sistemas lineares são equivalentes se eles possuem exatamenteas mesmas soluções, ou seja: se um conjunto de números x 1 , . . . , x n é solução de um sistemaentão automaticamente será solução do outro.21