t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

2.2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 25A mantissa de x de ordem 10 é o número0.2236067977As máquinas trabalham com um tamanho fixo para a mantissa: na calculadora que euusei, esse tamanho é 10. A ordem k da mantissa que escolhemos para operar com um númeroé também chamada de “número de algarismos significativos”.Antes de discorrermos sobre como fazer operações aritméticas com números nessa representação(a chamada “aritmética de ponto flutuante”), vejamos como se dá o processode arredondamento. Suponha que um número x se escreva da seguinte forma, na notaçãodecimal:x = N p N p−1 . . .N 1 N 0 .N −1 N −2 N −3 . . . ,onde N p , . . .,N 0 , N −1 , N −2 , . . . são os algarismos da notação, de fato números entre 0 e 9, jáque se trata de representação na base 10. À direita a seqüência dos N i ’s pode ser infinita(e inclusive há números que podem ser escritos de duas formas diferentes, por exemplo0.999 . . . = 1.000 . . .). Assumiremos que ela seja sempre infinita, pois mesmo que não sejapodemos torná-la completando a seqüência com zeros.Essa notação representa uma série infinita, isto é, uma soma de infinitos termos:x = N p · 10 p + N p−1 · 10 p−1 + . . . + N 1 · 10 1 + N 0 · 10 0 + N −1 · 10 −1 + N −2 · 10 −2 + . . .Mesmo sem estarmos familiarizados com séries, podemos entender o número x da seguinteforma: x está entre N p · 10 p e (N p + 1) · 10 p , mas também está entre N p · 10 p + N p−1 · 10 p−1e N p · 10 p + (N p−1 + 1) · 10 p−1 , e assim por diante.Se quisermos arredondar na k-ésima casa decimal depois da vírgula, observamos primeiramenteque x é maior ou igual ae menor do queN p · 10 p + . . . + N 1 · 10 1 + N 0 + N −1 · 10 −1 + . . . + N −k · 10 −kN p · 10 p + . . . + N 1 · 10 1 + N 0 + N −1 · 10 −1 + . . . + (N −k + 1) · 10 −k ,e, para simplificar a notação, definiremosde forma queX = N p · 10 p + . . . + N 1 · 10 1 + N 0 + N −1 · 10 −1 + . . . + N −k+1 · 10 −k+1 ,X + N −k · 10 −k ≤ x < X + (N −k + 1) · 10 −k .Para obter o arredondamento de x na k-ésima casa decimal, que denotaremos por ˆx,precisamos saber se x está mais próximo de X +N −k ·10 −k ou de X +(N −k +1) ·10 −k . Issoé determinado pelo algarismo seguinte na expansão decimal de x, isto é, N −k−1 . Podemosseguir a regra: se N −k−1 = 0, 1, 2, 3, 4, então ˆx = X + N −k · 10 −k ; já se N −k−1 = 5, 6, 7, 8, 9então ˆx = X + (N −k + 1) · 10 −k .No segundo caso é preciso tomar cuidado ao se voltar para a notação decimal. Se 0 ≤N −k ≤ 8, entãoˆx = N p . . . N 0 .N −1 . . . N −k+1 (N −k + 1) .