t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

3.4. O MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 43para todo i = 1, . . .,n.Num sistema de 4 equações e 4 incógnitas temosx (k+1)1 − x 1 =x (k+1)2 − x 1 =x (k+1)3 − x 1 =x (k+1)4 − x 1 =Da primeira equação, sai1()a 12 (x 2 − x (k)2a ) + a 13(x 3 − x (k)3 ) + a 14(x 4 − x (k)4 )111()a 21 (x 1 − x (k+1)1 ) + a 23 (x 3 − x (k)3a ) + a 24(x 4 − x (k)4 ) 221()a 31 (x 1 − x (k+1)1 ) + a 32 (x 2 − x (k+1)2 ) + a 34 (x 4 − x (k)4a ) 331(a 41 (x 1 − x (k+1)1 ) + a 42 (x 2 − x (k+1)2 ) + a 43 (x 3 − x (k+1)3 )a 44|x (k+1)1 − x 1 | ≤ |a 12||a 11 | · |x 2 − x (k)2 | + |a 13||a 11 | · |x 3 − x (k)3 | + |a 14||a 11 | · |x 4 − x (k)4 | ,Como |x i − x (k)i | ≤ ∆(k), para todo i = 1, 2, 3, 4, entãoDefinimospara ficar com|x (k+1)1 − x 1 | ≤ |a 12| + |a 13 | + |a 14 |∆(k) .|a 11 |β 1 = |a 12| + |a 13 | + |a 14 ||a 11 ||x (k+1)1 − x 1 | ≤ β 1 ∆(k) .Agora levamos em conta essa última inequação para mostrar que2 − x 2 | ≤ β 1|a 21 | + |a 23 | + |a 24 |∆(k) ≡ β 2 ∆(k) .|a 22 ||x (k+1)Continuando, obtemose3 − x 3 | ≤ β 1|a 31 | + β 2 |a 32 | + |a 34 |∆(k) ≡ β 3 ∆(k)|a 33 ||x (k+1)|x (k+1)Em conclusão, mostramos que4 − x 4 | ≤ β 1|a 41 | + β 2 |a 42 | + β 3 |a 43 |∆(k) ≡ β 4 ∆(k) .|a 44 ||x (k+1)i − x i | ≤ β i ∆(k) ,,)logo∆(k + 1) ≤ ( maxi=1,2,3,4 β i)∆(k) .