t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

2.5. SISTEMAS MAL-CONDICIONADOS E REFINAMENTO DE SOLUÇÃO 35Por exemplo, se u (i) = (u 1 , u 2 , . . .,u n ) e u (i+1) = (û 1 , û 2 , . . . , û n ), pode-se comparar o quantoas coordenadas variam, relativamente, da etapa i para a etapa i+1, olhando para os números|u 1 − û 1 ||u 1 |, . . . ,|u n − û n ||u n |, . . . ,e pedindo que eles sejam menores do que um certo valor (por exemplo, 0.05, significando 5%de variação). O problema é quando o denominador é igual a zero. Pode-se convencionar que:(i) se u j = 0 e û j = 0 então a variação é zero; (ii) se u j = 0 e û j ≠ 0, então a variação é iguala 1 (o que, em geral, fará com que o processo continue).Exercício 2.9 Melhorar o programa que implementa o Método de Escalonamento com condensaçãopivotal, acrescentando o refinamento, com algum critério de parada. Para fazer orefinamento, o programa deve utilizar o “histórico” do escalonamento, isto é, os multiplicadorese as trocas de linha (para que não se repita tudo a cada etapa).Exercício 2.10 Tome o sistema discutido na Subseção 2.5.2 e sua solução obtida com2 algarismos significativos, chamando-a de u (0) . Obtenha o refinamento u (1) , calculandob − Au (0) com dupla precisão.Exercício 2.11 Considere o sistema⎛1/2 1/3 1/4⎝ −11/3 1/4 1/5 01/4 1/5 1/6 1(a) Ache sua solução exata.(b) Resolva-o com dois algarismos significativos.(c) Agora faça a seguinte experiência: escreva o mesmo sistema, arredondando para doisalgarismos significativos, mas a partir daí ache sua solução usando o máximo de algarismossignificativos que sua calculadora permite. Compare com a solução exata. Istomostra que o refinamento também é limitado pelo arredondamento inicial que, num sistemamal-condicionado, pode alterar drasticamente a solução.⎞⎠ .Exercício 2.12 Dado o sistema linear Ax = b onde⎛⎞⎛−3.2 −5.0 −4.0A = ⎝ −3.0 −2.9 −2.7 ⎠ b = ⎝ 2.5−4.4−1.5 −0.40 1.13.5⎞⎠,após resolvê-lo utilizando o Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal earitmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos, obtivemos⎛⎞ ⎛−3.2 −5.0 −4.0Ã = ⎝ 0.47 2.0 3.0 ⎠ p = ⎝ 1 ⎞ ⎛3 ⎠ x (0) = ⎝ 4.4 ⎞−7.5 ⎠ .0.94 0.90 −1.625.6Execute uma etapa de refinamento.