t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

1.8. PROBLEMAS DE CONTORNO 19Suponha uma situação como amostrada na figura ao lado, comtrês fontes de calor:1. O entorno do quadrado, àtemperatura T a2. O quadrado inclinado, àtemperatura T bT bT cT a(x,y)T(x,y)3. A barra, à temperatura T cA questão é: como se distribuiráa temperatura, no equilíbrio, emfunção da posição (x, y)?O mesmo problema pode ser formulado com um potencial eletrostático V (x, y), ao invésda temperatura, se nas regiões mostradas fixássemos valores V a , V b e V c . Na verdade, osvalores T a , T b , T c nem precisariam ser fixos: poderiam variar conforme a posição.Esse problema é modelado pela equação de Laplace∂ 2 T∂x 2 + ∂2 T∂y 2 = 0 ,significando que devemos procurar uma função contínua T(x, y) cujo valor sobre as fontesseja aquele pré-determinado e tal que fora delas satisfaça essa equação.Para obter uma soluçãoTT abnumérica, discretizamos oplano (x, y) com uma rede quadrada,como mostra a figura aolado. Em seguida, numeramosos vértices da malha cujas temperaturasnão estão fixadas, emqualquer ordem (por exemplo,T c adotamos da esquerda para adireita, e de cima para baixo).Na posição i queremos determinar a temperatura T i , no equilíbrio. Se forem N vértices,serão N incógnitas T 1 , T 2 , . . .,T N a determinar. A equação de Laplace, quando discretizada,se traduz no fato de que a temperatura de equilíbrio na posição i tem que ser igual à média