t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

3.4. O MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 41De fato, de ∆(k) ≤ λ∆(k − 1) segue queAssime finalmentemaxi=1,...,n |x(k) i− x i | ≤ λ maxi=1,...,n |x(k−1) i− x i |= λ maxi=1,...,n |x(k−1) i≤ λ maxi=1,...,n{|x (k−1)i≤ λ maxi=1,...,n |x(k−1) i− x (k)i+ x (k)i − x i |− x (k)i | + |x (k)i − x i |}− x (k)i | + λ maxi=1,...,n |x(k) i − x i |(1 − λ) maxi=1,...,n |x(k) i− x i | ≤ λ maxi=1,...,n |x(k−1) i− x (k)i|que com nossa notação compacta se tornamaxi=1,...,n |x(k) i− x i | ≤ λ1 − λ maxi=1,...,n |x(k−1) i− x (k)i|∆(k) ≤λ1 − λ ∆ max(x (k−1) , x (k) )Um critério de parada para o Método de Jacobi consiste em calcular o lado direito da desigualdadeacima e parar quando esta for menor que a precisão desejada.Outro critério de parada é aquele em que somente calculamos a iteração seguinte caso avariação relativa seja maior que uma quantidade p pré-fixada, isto é, se|x (k+1)i− x (k)i | ≥ p|x (k)i |para algum i = 1, . . ., n. Entretanto este segundo critério não garante que a distância entrex (k) e x seja menor que p. Muitas vezes a velocidade de convergência do método é muitolenta e mesmo longe da solução, a variação relativa das soluções aproximadas pode ser muitopequena.3.4 O Método de Gauss-SeidelO Método de Jacobi poderia ser aplicado nos problemas de contorno da Seção 1.8, massomente pelo Critério das Linhas não seria possível afirmar que haveria convergência, pois osvértices livres produzem equações onde o elemento da diagonal é exatamente igual à somados demais termos, o que significa, na notação da Seção anterior, que λ i = 1, para algunsvalores de i.Experimentos numéricos evidenciam que de fato há convergência do Método de Jacobinesses casos, embora ela seja muito lenta, principalmente se o número de vértices da gradefor muito grande. Embora a convergência possa ser demonstrada matematicamente, comcritérios menos exigentes que o Critério das Linhas, discutiremos nesta Seção uma variaçãodo Método de Jacobi, chamada de Método de Gauss-Seidel. Sua eficácia ficará demonstradaa partir de uma hipótese mais fraca que o Critério das Linhas, chamada de Critério de