t - Departamento de Sistemas e Computação - UFCG

1.7. SPLINES 17Problema: “achar um polinômio tal que p(−1) = 1, p(3) = 0, p ′ (−1) = 0 e p ′ (3) = 0”.Isto é, fixa-se o valor e a derivada de p em dois pontos, o que dá 4 equações. Com um polinômiode grau 3, fica-se com 4 incógnitas. Explicitamente, se p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , entãoas 4 equações se transformam ema 0 − a 1 + a 2 − a 3 = 1a 0 + 3a 1 + 9a 2 + 27a 3 = 0a 1 − 2a 2 + 3a 3 = 0a 1 + 6a 2 + 27a 3 = 0Também pode-se impor alguma condição de integral definida para o polinômio. Porexemplo, se p(x) = ax 2 + bx + c é polinômio de grau 2 e sabemos queisso nos dá uma equação linear, pois∫ 21∫ 21p(x)dx = a x33p(x)dx = 3 ,∣∣ 2 1+ b x22= 7 3 a + 3 2 b + c .∣ 2 ∣+ cx1∣ 2 11.7 SplinesHá também o problema de “spline”. Dados pontos (x 0 , y 0 ), . . . , (x n , y n ) (a numeração começade zero, desta vez) como na figura abaixo com n = 5, achar uma função que seja:1. um polinômio cúbico em cada intervalo [x k−1 , x k ], com k = 1, . . .,n;2. igual aos valores especificados y k nos pontos x k ;3. duas vezes diferenciável e com derivada segunda contínua, inclusive nos pontos extremosdos intervalos (em particular, a função também deve ser diferenciável);4. com derivada zero nos extremos (ou com valores especificados da derivada nos extremos).x x 1x 2x 3x 4x 50