Probleme de Algebra

Partea 1: Enunţurile problemelor
§1. Operaţii algebrice.Semigrupuri. Monoizi.
Morfisme de monoizi.
1.1. Fie M o mulţime cu n elemente.
(i) Câte operaţii algebrice se pot defini pe M ?
(ii) Câte dintre acestea sunt comutative?
(iii) Câte dintre acestea admit element neutru?
(iv) Să se arate că numărul operaţiilor algebrice ce se pot defini
pe M care sunt în acelaşi timp comutative şi cu element neutru este
1.2. Pe ℝ considerăm operaţia algebrică :
12
2
n n
2
2
n .
x y = xy + ax + by + c (a, b, c ℝ).
(i) Pentru ce valori ale lui a,b,c operaţia ” ” este asociativă?
(ii) Să se demonstreze că operaţia ” ” este asociativă are element
neutru ;
(iii) În ipoteza că operaţia ” ” este asociativă, să se pună în evidenţă
U(ℝ,○).
1.3. Pe ℤ considerăm operaţia algebrică :
x y = axy + b(x + y) + c (a, b, c ℤ).
Să se demonstreze că:
(i) Operaţia ” ” este asociativă b 2 -b-ac = 0;
(ii) Dacă b 2 -b-ac = 0, atunci operaţia ” ” are element neutru dacă şi
numai dacă b | c.
1.4. Fie M o mulţime nevidă iar ” ” o operaţie algebrică asociativă pe
M. Să se demonstreze că :
H = {a M: (x a) y = x (a y), pentru orice x,y M}
este parte stabilă a lui M în raport cu operaţia dată.
1.5. Fie M o mulţime nevidă. Pe M se defineşte o operaţie algebrică
asociativă. Arătaţi că dacă M este finită şi există a M a.î. funcţia f: M M ,
f(x) = axa este injectivă, atunci (M, ) este monoid.