Probleme de Algebra

4.95. Să se demonstreze că numărul structurilor de grup ce se pot defini
pe o multime cu n elemente, izomorfe cu o structură de grup fixat (G,·) este
egal cu n!/ | Aut(G,·) |.
4.96. Să se demonstreze că numărul structurilor de grup ciclic ce se pot
defini pe o mulţime cu n elemente este egal cu n! / (n), unde este indicatorul
lui Euler.
Să se deducă de aici că numărul structurilor de grup ciclic ce se poate
defini pe o mulţime cu n elemente ( n prim) este egal cu (n-2)!·n.
4.97. Să se demonstreze că (ℚ,+) este divizibil.
4.98. Să se demonstreze că dacă p este un număr prim, atunci grupul
( U ,·) este divizibil (vezi problema 3.19.).
p
4.99. Să se demonstreze că orice grup comutativ divizibil conţine un
subgrup izomorf cu (ℚ,·) sau cu un grup de forma ( U ,·) cu p prim (vezi
p
problema 3.19.).
4.100. Să se demonstreze că orice grup factor al unui grup divizibil este
divizibil.
4.101. Să se demonstreze că în categoria grupurilor abeliene obiectele
injective sunt exact grupurile divizibile
§5. Produse directe de grupuri
5.1. Dacă H,K sunt grupuri, să se demonstreze că H {1} H K şi
{1} K H K.
5.2. Să se demonstreze că dacă {Gi}i I este o famile finită de grupuri,
atunci Z( Z(Gi).
i I
Gi) =
i I
Să se deducă de aici că un produs direct de grupuri este comutativ dacă
şi numai dacă fiecare din factorii produsului este comutativ.
5.3. Fie G un grup iar G ˆ = G = {(x,x) : x G}.
Să se demonstreze că :
(i) G ˆ G G, G ˆ G;
(ii) G ˆ G G G este comutativ;
46