Probleme de Algebra

2.10. Fie G mulţimea matricelor de forma M(a,b) =
proprietatea că det M(a,b) = 1. Să se arate că G este grup în raport cu înmulţirea
matricelor.
a
c
b
b
a
c
2.11. Considerăm mulţimea M =
c
b a,
b,
c R,
iar
a
f
a
bX
cX
18
2
s i
,
g
X
3
1
i n tre
a
b
b
ele
b
a
b
sunt prime .
Să se arate că M este grup în raport cu înmulţirea matricelor.
2.12. Fie E = ℝ ℝ iar pentru t ℝ, funcţia ft:E E,
ft(x,y) = (x+ ty + t 2 /2, y + t), oricare ar fi (x,y) E.
Să se demonstreze că mulţimea G = {ft : t ℝ} formează grup comutativ
în raport cu compunerea funcţiilor.
2.13. Se consideră mulţimea :
a b c d
d a b c
2
2
G = M 4 ( R)
( a c)
( b d)
0,
| a c | | b d | .
c d a b
b
c
d
a
(i) Să se arate că (G, ) este grup abelian ;
(ii) Pentru n ℕ şi X G, să se arate că există an, bn, cn, dn ℝ şi
H = {A,B,C,D}, H G, a.î. (H, ) să fie grup abelian şi X n
= anA + bnB + cnC + +dnD pentru orice n număr natural.
(iii) Pentru n ℕ* calculaţi :
2.14. Fie A =
2
4
8
1
2
4
MA = { x I3 + y A | (x,y) ℝ* ℝ}.
Să se arate că :
1
2
4
2
3
0
0
şi
0
2
3
0
0
0
2
3
3
0
0
2
n
.
b
b
a
cu