Probleme de Algebra

More documents

Recommendations

Info

Prefaţă Lucrarea de faţă este destinată în principal seminarizării cursurilor de algebră legate de structurile algebrice fundamentale (grup, inel, corp). Ea cuprinde probleme legate de grupuri, inele, corpuri şi inele de polinoame. Această lucrare este utilă în primul rând studenţilor de la facultăţile de matematică - informatică dar şi celor de la facultăţile tehnice. Ea poate fi însă utilă în egală măsură atât profesorilor de matematică din învăţămîntul preuniversitar (în procesul didactic şi de perfecţionare), ca şi elevilor din ultima clasă de liceu participanţi la tradiţionalele concursuri de matematici de la noi. Pentru anumite aspecte teoretice recomandăm cititorilor lucrările [4, 12, 13, 18, 19, 20, 21]. Atât tehnoredactarea cât şi corectura aparţin autorilor. Craiova, 20.02.2002 Autorii 8
Index de notaţii şi abrevieri a.î. : astfel încât ( ) : implicaţia (echivalenţa) logică ( ) (( )) : cuantificatorul universal (existenţial) x A : elementul x aparţine mulţimii A A B : mulţimea A este inclusă în mulţimea B A⊊B : mulţimea A este inclusă strict în mulţimea B A B : intersecţia mulţimilor A şi B A B : reuniunea mulţimilor A şi B A \ B : diferenţa mulţimilor A şi B A B : diferenţa simetrică a mulţimilor A şi B P(M) : familia submulţimilor mulţimii M CMA : complementara în raport cu M a mulţimii A A B : produsul cartezian al mulţimilor A şi B |M| (sau card M) : cardinalul mulţimii M ( dacă M este finită |M| reprezintă numărul elementelor lui M) 1A : funcţia identică a mulţimii A ℕ(ℕ*) : mulţimea numerelor naturale (nenule) ℤ(ℤ*) : mulţimea numerelor întregi (nenule) ℚ(ℚ*) : mulţimea numerelor raţionale (nenule) ℚ * : mulţimea numerelor raţionale strict pozitive ℝ(ℝ*) : mulţimea numerelor reale (nenule) ℝ * : mulţimea numerelor reale strict pozitive ℂ(ℂ*) : mulţimea numerelor complexe (nenule) δij : simbolul lui Kronecker ( adică 1 pentru i = j şi 0 pentru i j) |z| : modulul numărului complex z Un : mulţimea rădăcinilor complexe de ordin n ale unităţii T : mulţimea numerelor complexe de modul 1 m | n : numărul întreg m divide numărul întreg n [m,n] : cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale m şi n c.m.m.m.c. : cel mai mic multiplu comun (m,n) : cel mai mare divizor comun al numerelor naturale m şi 9
Page 1 and 2: DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTE
Page 3 and 4: Dumitru BUŞNEAG Florentina CHIRTE
Page 5 and 6: ISBN: 973 - 8043 - 189 - 9 5
Page 7: §4. Morfisme şi izomorfisme de gr
Page 11 and 12: H ≉ K : grupurile H şi K nu sunt
Page 13 and 14: 1.6. Fie S un semigrup finit şi a
Page 15 and 16: 1.23. Fie matricea A = Z (Mn(ℂ),
Page 17 and 18: 1 ln a 0 2.4. Fie G = 0 1 0 : a R,
Page 19 and 20: (i) det X nu depinde de y, pentru o
Page 21 and 22: notăm cu Mm,n(G) mulţimea matrice
Page 23 and 24: a.î. : 2.53. Fie (G, ) un grup, n
Page 25 and 26: 2.68. Fie (X,d) un spaţiu metric i
Page 27 and 28: (i) Dacă Sn este un ciclu de lungi
Page 29 and 30: 3.11. Fie G un grup iar x,y G a.î.
Page 31 and 32: Să se demonstreze că U,V,W GL2(
Page 33 and 34: Observaţie. CG(x) poartă numele d
Page 35 and 36: 4.8. Într-un grup (G,·) se consid
Page 37 and 38: 4.17. Pentru n 1 fixat, se notează
Page 39 and 40: (ii) Dacă f este izomorfism de gru
Page 41 and 42: 4.44. Să se demonstreze că singur
Page 43 and 44: 4.67. Să se demonstreze că grupur
Page 45 and 46: Să se demonstreze că dacă G este
Page 47 and 48: (iii) NG G( G ˆ ) = G ˆ Z(G) = 1.
Page 49 and 50: §6. Inel. Subinel. Exemple. Calcul
Page 51 and 52: (ii) Dacă a1a2a3 =0 (cu a1, a2, a3
Page 53 and 54: 6.27. Fie A un inel unitar. Arăta
Page 55 and 56: a b c 6.37. Fie A= 0 a d a, b, c, d
Page 57 and 58: a k -b k = (a-b)(a k-1 + a k-2 b +
Page 59 and 60:
) A1 = ℤ, A2 = ℚ c) A1 = ℤm,
Page 61 and 62:
(i) Inelul T2(ℤ) al matricelor de
Page 63 and 64:
Observaţie. Reamintim că f : A→
Page 65 and 66:
8.19. Daţi exemplu de un morfism d
Page 67 and 68:
2) r(I ∩ J) = r(I) ∩ r(J), 3) r
Page 69 and 70:
8.52. Să se arate că ℤ[ d ] / (
Page 71 and 72:
Arătaţi că: (i) Pentru orice x
Page 73 and 74:
9.31. Fie f un endomorfism al corpu
Page 75 and 76:
2) Pentru orice x∈K există un î
Page 77 and 78:
(i) Să se arate că mulţimea Kd e
Page 79 and 80:
10.13. Fie K un corp comutativ şi
Page 81 and 82:
10.32. Să se arate că dacă m est
Page 83 and 84:
10.52. Fie f=a0+a1X+…+anX n ∈
Page 85 and 86:
x 3 +3x-5 = 0. 10.68. Să se calcul
Page 87 and 88:
Partea 2: Soluţiile problemelor §
Page 89 and 90:
Datorită asociativităţii operaţ
Page 91 and 92:
" ". Fie n = p k cu p prim, k natur
Page 93 and 94:
Să demonstrăm acum că funcţia a
Page 95 and 96:
n =1. În concluzie X trebuie cu ne
Page 97 and 98:
(ii) ⇒ (iii). Să presupunem prin
Page 99 and 100:
2.5. Pentru x ℝ-{1/2}, notăm A(x
Page 101 and 102:
Prin calcul direct se arată că da
Page 103 and 104:
a) aX(x,y) = X(ax,ay) ; X(x,y) + X(
Page 105 and 106:
2.22. Să presupunem prin absurd c
Page 107 and 108:
2.31. Evident, aba = bab ab = b(ab)
Page 109 and 110:
-reflexivă: (a,b) (a,b), ( ) (a,b)
Page 111 and 112:
2.45. Fie G1 un grup abelian finit
Page 113 and 114:
2.53. Fie x G. Vom demonstra mai î
Page 115 and 116:
2.61. Pentru x,y G avem (xy) n+2 =
Page 117 and 118:
Dacă vom considera B = -A(adică p
Page 119 and 120:
Dacă două transpoziţii vecine (i
Page 121 and 122:
Dacă notăm jk = (j,k), atunci jk
Page 123 and 124:
Conform problemei anterioare, puter
Page 125 and 126:
Dacă x1 nu apare la un exponent ne
Page 127 and 128:
n1 | nn2 şi cum (n1,n2) = 1 n1| n.
Page 129 and 130:
Evident a = 1 verifică condiţiile
Page 131 and 132:
Deoarece M1= VU -q-1 M = inducţie
Page 133 and 134:
Deoarece {xx1, xx2, … ,xxn}=G (xx
Page 135 and 136:
unic element hij H şi un unic k {1
Page 137 and 138:
24 : 8 = 3 ; există deci numai 3 p
Page 139 and 140:
Se probează imediat faptul că ace
Page 141 and 142:
loga x x = a - elementele simetriza
Page 143 and 144:
(iii). Alcătuind tabla de înmulţ
Page 145 and 146:
matricea A= Funcţiile fα, : G G,
Page 147 and 148:
(iv). Fie t = f g : ℝ G t(x) = e
Page 149 and 150:
Rezultă că Hom (ℤm,ℤn) este c
Page 151 and 152:
4.35. Dacă f : ℤn ℤ este un mo
Page 153 and 154:
4.44. Fie f : (ℚ,+) (Sn, ) un mor
Page 155 and 156:
Fie B = (xi)i I o bază a spaţiulu
Page 157 and 158:
sau cb = b). Ţinând cont că a 2
Page 159 and 160:
4.64. Presupunem prin absurd că ex
Page 161 and 162:
Dacă k ℕ* şi (xH) k = H (xH) k
Page 163 and 164:
Fie { x1, x2,…, xk } o bază a lu
Page 165 and 166:
aij = 0, ˆ 1, ˆ daca daca ni ni i
Page 167 and 168:
Într-adevăr, dacă : (G, ) pentru
Page 169 and 170:
Se verifică imediat că Z(G) = Z(G
Page 171 and 172:
5.12. Fie p0 = 2, p1= 3, p2 = 5,…
Page 173 and 174:
cu m s sistemul acestor numere, adi
Page 175 and 176:
1 + up cu u ℕ. Însă 1 + up = |G
Page 177 and 178:
Prin urmare există un unic tip de
Page 179 and 180:
De asemenea xyx -1 y 2 (căci y şi
Page 181 and 182:
§6. Inel. Subinel. Exemple. Calcul
Page 183 and 184:
= d1 n d2 m f ( d ) f ( d ) g 1 2 n
Page 185 and 186:
Cum [A, B] 2 , [C, D] 2 comută cu
Page 187 and 188:
Deoarece 1+1≠0 rezultă că am pu
Page 189 and 190:
6.12. (i). Fie x=ba ⇒ x 2 =(ba)(b
Page 191 and 192:
[(a-b -1 ) -1 -a -1 ](aba-a)=[b(ab-
Page 193 and 194:
şi produsul a două funcţii conti
Page 195 and 196:
Cazul 2. Dacă | Z(A) |=p Alegem un
Page 197 and 198:
urmare: (∗) Aplicând din nou ipo
Page 199 and 200:
(ii). ,,⇒”. Dacă z∈ℤ[ d ]
Page 201 and 202:
6.37. Faptul că adunarea şi înmu
Page 203 and 204:
6.42. (i). Presupunem prin reducere
Page 205 and 206:
,,⇐”. Reciproc, punând b=a în
Page 207 and 208:
Alegem acum p≥max{i1, i2, …, in
Page 209 and 210:
6.59. Observăm că dacă x este id
Page 211 and 212:
6.64. C(S) este format din matricel
Page 213 and 214:
Deci a 2 poate fi egal cu 0, 1, a s
Page 215 and 216:
4) a 2 =3a. În acest caz avem (3a)
Page 217 and 218:
i) a 2 =0. În acest caz produsul o
Page 219 and 220:
deducem că ℤn). 2 2 a f( ) f( )
Page 221 and 222:
a=es=(1-e)t. Deducem ea=e 2 s=es=a
Page 223 and 224:
a pb b a 2 k 0 0 k a 2 pb 2 pab 2 a
Page 225 and 226:
Cum A este o mulţime finită, rezu
Page 227 and 228:
φ este injectivă pentru că φ(f)
Page 229 and 230:
Presupunem că (A, +)≃(A * , ⋅)
Page 231 and 232:
§8. Ideale. Laticea idealelor unui
Page 233 and 234:
8.9. Alegem A un inel unitar nenul
Page 235 and 236:
poziţia (p, p) elementul 1 şi în
Page 237 and 238:
0 a Aplicaţia f:R→ℚ, f b , ori
Page 239 and 240:
Deci 1-xy este inversabil pentru or
Page 241 and 242:
8.40. Fie p un număr prim şi s un
Page 243 and 244:
AZ Figura 1 Unul singur este neprin
Page 245 and 246:
Dacă însă m=n=0, T poate fi oric
Page 247 and 248:
Fie x=(x1, …, xn)∈ n i 1 p ( )
Page 249 and 250:
Grupul Ker f * este ciclic generat
Page 251 and 252:
(-x)⊗y=x⊗(-y)=-x⊗y, (-x)⊗(-
Page 253 and 254:
9.9. Fie φ, e respectiv elementul
Page 255 and 256:
Într-adevăr, dacă (m, n)=1 atunc
Page 257 and 258:
1) 0∈B. Atunci există s∈ℕ *
Page 259 and 260:
o contradicţie. Dacă ordinul adit
Page 261 and 262:
condiţia de comutare x⋅j=j⋅x r
Page 263 and 264:
9.27.,,⇐”. Fie E1, E2, …, En
Page 265 and 266:
(iv). Fie f un endomorfism al lui
Page 267 and 268:
f(1)=f(1⋅1)=f(1)⋅f(1), adică f
Page 269 and 270:
( x 1) n n 1 n x 1 n 1 Cn x 2 n Cn
Page 271 and 272:
9.40. Fie φ:(ℤp, +)→(ℤp * ,
Page 273 and 274:
prin inducţie după k≥1 că: (1)
Page 275 and 276:
u v 1 1 2 1 Deci obţinem sistemul
Page 277 and 278:
a 2 -2b 2 , deci este nenulă dacă
Page 279 and 280:
corp. Reciproc, să presupunem că
Page 281 and 282:
§10. Inele de polinoame 10.1. Ară
Page 283 and 284:
10.5. (i). Să presupunem că polin
Page 285 and 286:
Cardinalul acestei mulţimi este 2
Page 287 and 288:
( aˆ Deci există g∈ℤ r [X] a.
Page 289 and 290:
Demonstrăm acum că ψ -1 (A)⊆
Page 291 and 292:
Deci putem defini o funcţie ψ:A
Page 293 and 294:
10.23. Conform teoremei împărţir
Page 295 and 296:
2 3k 1 2 3k1 Este suficient să ave
Page 297 and 298:
10.38. Se ştie că orice corp fini
Page 299 and 300:
Deci y nu poate fi o rădăcină co
Page 301 and 302:
10.47. Conform problemei 10.5., un
Page 303 and 304:
(∗) a a a a a 0 1 2 n 1 n b c b c
Page 305 and 306:
n n s s
Page 307 and 308:
a a Dn(1)= a 1 n n 1 ... a 2 a a a
Page 309 and 310:
p q ⇒ x i x j S p Sq S p q . i j
Page 311 and 312:
10.70. Demonstrăm că P este iredu
Page 313 and 314:
10.74. Avem Z 2 =Y 2 X 2 -(XY-Z)(YX
Page 315 and 316:
BIBLIOGRAFIE 1. Gh. Andrei, C. Cara
show all

Probleme de Algebra

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?