Probleme de Algebra

Dacă g este morfismul nul (adică g(x) = 1, pentru orice x G1),
convenim să notăm Ker(f) = Ker(f,1) = {x G1 : f(x) = 1} ( fără a mai specifica
morfismul incluziune).
4.2. Fie G1, G2 două grupuri, f : G1 G2 un morfism de grupuri.
Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(i) f este aplicaţie injectivă;
(ii) Ker(f) = {1}.
4.3. Fie G1, G2 două grupuri, f : G1 G2 un morfism de grupuri.
Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(i) f este aplicaţie injectivă;
(ii) Dacă G0 este un alt grup şi g,h : G0 G1 sunt morfisme de grupuri
a.î. f g = f h, atunci g = h.
Observaţie. Acest exerciţiu ne arată că în categoria grupurilor,
monomorfismele sunt exact morfismele injective.
4.4. Fie G1, G2 două grupuri, f : G1 G2 un morfism de grupuri.
Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(i) f este aplicaţie surjectivă;
(ii) Dacă G3 este un alt grup şi g,h : G2 G3 sunt morfisme de grupuri
a.î. g f = h f, atunci g = h.
Observaţie. Acest exerciţiu ne arată că în categoria grupurilor,
epimorfismele sunt exact morfismele surjective.
4.5. Fie M un monoid comutativ cu proprietatea că dacă x,y M şi xy =
xz atunci y = z.
Să se demonstreze că există un grup GM şi un morfism injectiv de
monoizi iM : M GM a.î. pentru orice grup abelian G şi orice morfism de
monoizi u : M G există un unic morfism de grupuri u : GM G a.î.
u iM = u.
Observaţie. Acest rezultat este datorat lui Malţev.
4.6. Fie M = (1, ) şi o operaţie algebrică pe M, : M M M,
definită astfel: x y = xy + ax + by + c (a,b,c ℝ). Să se determine a,b,c ştiind
că ( M, ) este grup şi să se arate că (M, ) este izomorf cu (ℝ,+).
4.7. Fie G un subgrup nenul al lui grupului (ℝ,+) cu proprietatea că G
(-a,a) este mulţime finită, oricare ar fi a ℝ, a > 0. Să se arate că grupul
(G,+) este izomorf cu grupul (ℤ,+).
34