Probleme de Algebra

4.56. Să se demonstreze că un grup cu 4 elemente este izomorf cu ℤ4
sau cu grupul lui Klein, iar ℤ4 ≉ K.
4.57. Fie G un grup cu proprietatea că G se scrie ca reuniune de
trei subgrupuri diferite de G, dintre care două au câte două elemente. Să
se arate că G este izomorf cu grupul lui Klein.
4.58. Să se demonstreze că un grup cu 6 elemente este izomorf cu ℤ6
sau cu S3, iar ℤ6 ≉ S3 (vezi problema 4.75.).
4.59. Să se demonstreze că grupurile aditive (ℤ,+), (ℚ,+) şi (ℝ,+) nu
sunt izomorfe două câte două.
4.60. Să se demonstreze că grupurile aditive (ℝ,+) şi (ℂ,+) sunt
izomorfe.
4.61. Să se demonstreze că grupurile multiplicative (ℚ * ,), (ℝ * ,) şi
(ℂ * , ) nu sunt izomorfe două câte două.
4.62. Fie ℚ = {x ℚ : x >0} şi ℝ ={x ℝ : x >0}.
Să se demonstreze că:
(i) ℚ (ℚ * . ) şi ℝ (ℝ * , ) ;
(ii) (ℝ , ) (ℝ,+), (ℚ , ) ≉ (ℚ,+).
4.63. Să se demonstreze că grupurile (ℤ,+) şi (ℚ * , ) nu sunt izomorfe.
4.64. Să se arate că (ℚ,+) nu este izomorf cu grupul (ℚ[i],+)
(ℚ[i] = {a + bi ℂ | a,b ℚ}).
4.65. Să se demonstreze că grupurile (ℤ,+) şi (ℤ[X],+) nu sunt
izomorfe.
4.66. Să se demonstreze că grupurile aditive (ℚ,+) şi (ℚ[X],+) nu sunt
izomorfe .
42