Probleme de Algebra

(x, y)+(xʹ, yʹ) = (x+xʹ, y+ yʹ)
(x, y)⋅(xʹ, yʹ) = (xxʹ, xyʹ+xʹy), oricare ar fi (x, y), ( xʹ, yʹ)∈ℤ×ℤ.
Să se arate că (ℤ×ℤ, +, ⋅) devine inel unitar şi comutativ.
6.6. Fie M2(ℂ) mulţimea matricelor pătratice de ordinul al doilea cu
elemente din ℂ. Dacă A, B∈M2(ℂ), notăm [A, B] = AB-BA. Să se arate că:
(i) [A, B] 2 comută cu orice matrice din M2(ℂ);
(ii) Dacă A, B, C, D∈M2(ℂ), atunci matricea
comută cu orice matrice din M2(ℂ).
6.7. Să se determine
[A, B]⋅[C, D]+[C, D]⋅[A, B]
(i) Matricele X∈M2(ℤ2) a.î. X 2 +I2 = O2;
(ii) Matricele X∈M2(ℤ3) a.î. X 2 = I2.
6.8. Fie A un inel care conţine nondivizori ai lui zero atât la stânga cât
şi la dreapta. Dacă A are un număr finit de elemente, să se demonstreze că
inelul A este unitar.
6.9. Fie A un inel cu 5 elemente. Să se arate că A este de caracteristică 5
şi pe baza acestui rezultat să se demonstreze că A este comutativ.
6.10. Fie A un inel.
(i) Dacă car(A) = 2 şi x∈A, să se exprime (x+1) n ca sumă de puteri ale
lui x pentru n∈{2, 3, 4, 5};
(ii) Dacă există n∈ℕ * a.î. x n+1 = x n pentru orice x∈A, să se arate că
car(A) = 2 şi x 2 = x, pentru orice x∈A.
x 2 = 1.
sus.
6.11. Fie A un inel de caracteristică 2 a.î. pentru orice x∈A, x 2 = 0 sau
(i) Să se demonstreze că A este comutativ;
(ii) Să se dea exemplu de inel cu 4 elemente având proprietăţile de mai
6.12. Fie A un inel cu proprietatea că oricare ar fi n∈ℕ * ecuaţia x n = 0
are în A numai soluţia x = 0. Să se arate că:
(i) Dacă ab=0 (cu a, b∈A), atunci ba=0 şi axb=0 pentru orice x∈A;
50