Probleme de Algebra

5.17. Să se caracterizeze :
(i) grupurile abeliene finite cu p n elemente ( p prim, p 2, n ℕ*);
(ii) grupurile abeliene finite cu p 1 n n2 s
1 p 2 …p n
prime distincte două câte două iar n1,…,ns ℕ*).
sau cu ℤ3 ℤ3.
48
s elemente (p1,…, ps numere
5.18. Să se caracterizeze grupurile comutative cu 8 elemente.
5.19. Să se demonstreze că un grup cu 9 elemente este izomorf cu ℤ9
5.20. Să se demonstreze că un grup cu 10 elemente este izomorf cu ℤ10
sau cu D5.
a b
5.21. Fie A= M2(ℤ) cu det(A) = -1 sau 1. Să se demonstreze
c d
că funcţia tA: ℤ ℤ ℤ ℤ definită prin tA(x,y) = (ax + by, cx + dy), este un
automorfism al lui ℤ ℤ şi că oricare alt automorfism al lui ℤ ℤ este de forma
tA.
= pq.
5.22. Fie p,q numere prime distincte, p > q şi G un grup abelian a.î. |G|
Să se arate că :
(i) Dacă q∤ p-1, atunci G este ciclic ;
(ii) Dacă q | p-1, atunci G este generat de două elemente a şi b
satifăcând condiţiile a q = b p = 1, a -1 ba = b r , cu r ≢1 (mod p) însă r q 1 (mod q).
5.23. Să se demonstreze că un grup cu 15 elemente este ciclic (deci
izomorf cu (ℤ15,+)).
5.24. Să se caracterizeze grupurile finite de ordin p 3 ( p prim).
5.25. Să se caracterizeze grupurile cu 12 elemente.
5.26. Să se facă un tabel de caracterizare a grupurilor cu cel mult 15
elemente.