Probleme de Algebra

Să se demonstreze că (i) ⇒ (ii) însă în general (ii) ⇏(i).
1.30. Fie M1,M2 monoizi, f : M1 M2 un morfism de monoizi.
Considerăm următoarele afirmaţii :
(i) f este aplicaţie injectivă ;
(ii) Dacă M0 este un alt monoid iar g,h :M0 M1 sunt morfisme de
monoizi a.î. f g = f h, atunci g = h ;
(iii) Ker(f) = {1}.
Să se demonstreze că (i) (ii) şi (ii) (iii).
Observaţie. Un morfism ce verifică (ii) se numeşte monomorfism de
monoizi.
1.31. Fie M1,M2 monoizi, f : M1 M2 un morfism de monoizi.
Considerăm următoarele afirmaţii :
(i) f este aplicaţie surjectivă ;
(ii) Dacă M3 este un alt monoid iar g,h :M2 M3 sunt morfisme de
monoizi a.î. g f = h f, atunci g = h .
Să se demonstreze că (i) ⇒ (ii) însă în general (ii) ⇏(i).
Observaţie. Un morfism ce verifică (ii) se numeşte epimorfism de
monoizi.
§2. Grup. Subgrup. Subgrup generat de o mulţime.
Calcule într-un grup. Grupuri de permutări.
2.1. Pe mulţimea ℤ definim operaţia algebrică:
x y = xy + 2(x + y + 1).
(i) Să se arate că dubletul (ℤ, ) nu este grup ;
(ii) Să se determine cea mai mare submulţime G ℤ (faţă de
incluziune) a.î. dubletul (G, ) să fie grup comutativ.
2.2. Pe mulţime a ℚ se defineşte operaţia algebrică :
x y = x + y–kxy
(k ℚ * fixat). Să se arate că există a ℚ a.î. (ℚ \ {a}, ) să fie grup abelian.
2.3. Fie a,b,c,d ℝ * şi operaţia algebrică : x y = xy+ax+by+c.
Ce condiţie trebuie să îndeplinească a,b şi c pentru ca ((d, ), ) să fie
grup abelian ?
16